题目列表(包括答案和解析)
4.在空间中,下列命题中正确的是 ( )
①若两直线a、b分别与直线l平行,则a//b
②若直线a与平面β内的一条直线b平行,则a//β
③若直线a与平面β内的两条直线都垂直,则a⊥β
④若平面β内的一条直线a垂直平面γ,则β⊥γ
A.①②④ B.①④ C.①③④ D.①②③④
5.如图正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长与高相等,截面PAC
把棱柱分成两部分的体积之比为5∶1,则二面角P-AC-B
的大小为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
6.如图一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周
上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折
痕为CD,设CD与OM交于P,则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
3.已知,则下列k值中能使△ABC是直角三角形的值是 ( )
A. B. C. D.-5
2.已知等于 ( )
A. B. C. D.
是符合题目要求的.
1.已知集合,那么等于( )
A.(0,1) B.(0,1),(1,2)C.D.
5、已知是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点.若点B的坐标为 (2,0),且f (x) 在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.
(1)求c的值;
(2)在函数f (x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得f (x)在点M的切线斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)求| AC |的取值范围.
(1)解:
依题意在和[0,2]上有相反的单调性,
∴x = 0是f (x)的一个极值点,故,得c = 0
(2)解:因为f (x)交x轴于点B(2,0)
∴,即
令得
因为f (x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,∴在[0,2]和[4,5]上有相反的
符号
故2≤≤4 Þ -6≤≤-3
假设存在点M(x0,y0)使得f (x)在点M的切线斜率为3b,则f / (x0) =3b,
即
而-6≤≤-3,∴△<0
故不存在点M(x0,y0),使得f (x)在点M的切线斜率为3b.
(3)解:设,依题意可令
则即
∴
∵-6≤≤-3,∴当时,;
当时,,故3≤| AC |≤4
4、在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面内及其边界上运动,并且总是保持PEAC.
(1)指出动点P的轨迹(即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形),证明你的结论;
(2)以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P-CDE的最大体积是正四棱锥S-ABCD体积的几分之几?
(3)设动点P在G点的位置时三棱锥P-CDE的体积取最大值V1,二面角G-DE-C的大小为,二面角G-CE-D的大小为,求的值.
(4)若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”,其它条件不变,请指出点P的轨迹,证明你的结论.
解析:(1)如图,分别取CD、SC的中点F、G,连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD的交点为O,连结SO,则动点P的轨迹是的中位线FG.
由正四棱锥可得.又
平面EFG,平面EFG,.
(2)由于是定值,所以当P到平面CDE的距离最大时,最大,易知当P与G重合时,P到平面CDE的距离最大,故.又,G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的,
.
(3)令,EF与AC交于N点,连结GN,则GN平面ABCD.
因此二面角G-DE-C和二面角G-CE-D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距离的倒数比.
N是OC的中点,N到BC的距离为.
连结DE交OC于M,则M是的重心,.
又,
在中,容易求得N到DE的距离为.
故.
(4)动点P在侧面SCD内部及其边界上运动,且总保持,那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内,而由正四棱锥的性质可知,平面SBD,因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内.过E作E//SB,E//BD,分别交SC于,交CD于,则平面E//平面SBD,从而平面E,故点P的轨迹是线段.
说明:本题全方位地考查了立体几何中的主要内容,如线面与线线的位置关系、体积问题、二面角问题等.在立体几何的问题中给出了探求点的轨迹问题,与平面几何、解析几何紧密联系,体现了对综合运用知识的能力要求,考查的知识点丰富,具有相当的难度和深度,达到了压轴题的水平,是一道优秀的创新型试题.
3.某一居民小区五幢住宅楼,由于有水紧缺,规定每一幢楼在一周内必须选择某一天停水(选择哪一天是等可能的)。假定每一楼之间的选择互不影响。
(1) 求个5幢楼均选择星期天停水的概率。
(2) 求至少有两幢选择同一天停水的概率。
(1)设5幢楼均选择星期天停水的事件为A,则
P(A)= (6`)
(2)设五幢楼选择的停电时间各不相同的事件为B,则
P(B)== (12`)
2、质地均匀的正方体木块的棱长为n,n为正整数且n≥2.在其表面涂上与材质颜色不同的蓝色后将木块分割成棱长为1的小正方体木块,假设从中任意取一块得到表面有蓝色的木块的概率为P,请研究P能否大于或小于.
[解答]:当n=2时, P=1;
当n≥3时,有P=,
P-=.
记y=g(x)= , x>2.
g′(x)= ,
可知在(2,+∞)上y= g(x)只有一个极大值点x=,
所以函数y= g(x)在(2, )上是增函数;在(,+∞)上是减函数.
又验证g(3)>0, g(9) >0, g(10)<0,
于是我们得到结论:当正整数2≤n≤9时, P>;当正整数n≥10时, P<.
(2)以双曲线的焦点弦为直径的圆必与其相应的准线相交.
(3)以抛物线的焦点弦为直径的圆必与其相应的准线相切.
(理由):本题亦可出为选择题或解答题中其中一问证明。意在考查圆锥曲线的第二
定义及判定直线与圆的位置关系等相关概念和方法。
(详解):设圆锥曲线过焦点F的弦为AB,过A、B分别向相应的准线作垂线
,则由第二定义得:
∴
设以AB为直径的圆半径为r,圆心到准线的距离为d,即有
椭圆的离心率 ,此时. 相离
抛物线的离心率 ,此时. 相切
双曲线的离心率 ,此时. 相交
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com