2.4 重视在导数、向量、函数、不等式等知识交汇点上的命题趋势，既考查相关的知识，又体现知识间的联系和应用，突出对知识的迁移和应用能力的考查。

例5　 已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).　　

　(Ⅰ)求椭圆的方程；　

　(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.

分析：本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.

　　　 (I)设所求椭圆方程是

　　　 由已知，得　 　所以.

　　　 故所求的椭圆方程是

　　　 (II)设Q()，直线

　　　 当由定比分点坐标公式，得

　　　 .

　　　 于是　 故直线l的斜率是0，.

　例6　 设曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围是(　　 )

　 (A)　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

分析： 本题主要考查导数的求法，倾斜角和斜率的概念，点到直线的距离等知识。

　　 ∵ 过P点的切线斜率由题意：

即又∵的对称轴为到该对称轴的距离为，故应选B.

　 例7 已知常数，向量，经过原点O以为方向向量的直线相交于点P，其中。试问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由。

　 分析： 本题依托向量把解析几何联系起来，既考查向量的坐标运算，又考查直线与曲线的方程及圆锥曲线的定义和简单的几何性质。解本题的关键是求出点轨迹方程。

∵，直线OA和AP的方程分别为：

消去参数得P点的轨迹方程为：，整理得　　　 (＊)

(1)　　　 当时，方程(＊)表示圆，故不存在满足题意的两定点E和F；

(2)　　　 当时，方程(＊)表示焦点在上的椭圆，两焦点和即为满足题意的两定点；

(3)　　　 当时，方程(＊)表示焦点在轴上的椭圆，两焦点和即为满足题意的两定点。

　 例8已知椭圆C：+＝1(a＞b＞0)的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e. 直线

l：y＝ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设＝λ.

　 (Ⅰ)证明：λ＝1－e²；

　 (Ⅱ)确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形.

(Ⅰ)证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.

　　 所以点M的坐标是().　　 由

即

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

设点P的坐标是，

则，

由|PF₁|=|F₁F₂|得

两边同时除以4a²，化简得　

从而

于是　

即当时，△PF₁F₂为等腰三角形

　 例9．如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(1)求△APB的重心G的轨迹方程.

(2)证明∠PFA=∠PFB.

解：(1)设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

　 切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

　 (2)方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　2005年11月

2.3 有关直线和圆锥曲线的位置关系问题，主要涉及求参数的值或范围，既考基础，又考能力，突出区分功能，体现思维价值。

例3 过椭圆C：上动点P作⊙：的两条切线，切点为 ，若直线与轴、轴分别交于两点；

(1)　　　 求证：为定值；

(2)　　　 若椭圆C上存在点，使得由向⊙所引两条切线互相垂直，求离心率的取值范围。

　 分析：本题主要考查直线与圆的方程，以及离心率的概念，立意新，思维活，在考查基础知识的同时突出对理性思维能力的考查。

(1)　　 设易知四点共圆，并且此圆的方程为，由于为上述圆与已知圆得，令得，故(定值)。

注意 ：本小题切点弦的直线方程也可用“设而不求”的方法得出。

(2)由题意，四边形为正方形，，从而存在点的条件为：以为圆心、为半径的圆与椭圆相交，，故。

例4 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线截直线所得的弦长为。

(1)　　　 求抛物线C的方程；

(2)　　　 过点，且斜率的直线与抛物线C相交与A、B两点，求M分所成比的范围。

分析　 本题涉及直线与抛物线的位置关系问题，主要考查一元二次方程与系数关系，两点间距离公式及点M分所成的比等基础知识和基本方法，考查综合分析和解决问题的能力，具有较好的思维价值。

(1)　　　 设，直线与抛物线C交于，由 　

得，即

而，

即解得或，

故。

(2)直线把它代入得∵ 不合。把代入，设，　

，则(*) 由定比分点公式：0=，代入(*)的，显然又，于是即故

2.2 求曲线的方程，考查坐标法的思想和方法，从不同思维层次上反映数学能力。

例2 双曲线为渐近线且过点。

(1)　　　 求双曲线的方程；

(2)　　　 已知动点与曲线的两个焦点所连线段长的和为定长，且这两条线段夹角的余弦最小值为，求动点的轨迹方程；

(3)　　　 在轴正半轴上是否存在一点，使得与的轨迹方程上的点的最短距离为1？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由。

分析：本题主要考查双曲线、椭圆的方程，基本不等式及二次函数的最值，利用待定系数法可求出指定圆锥曲线的方程。本题把最值问题联系起来，体现了知识的整体性和系统性，既考查基础知识和基本方法，又渗透数学思想，突出对能力的考查，从不同的思维层次上反映能力。

(Ⅰ)设双曲线方程为，故

(Ⅱ)由题意，点轨迹以为焦点的椭圆，设方程为：，则 ①

　　 记，则，　　　　　　　　　　　　　　　　

由知当即P为椭圆短轴端点时，有最小值，并且②，由①，②可得，故动点P的轨迹方程为：。

(Ⅲ)设是以上轨迹上任一点，则，，又，

对称轴。

(1)若即，则当时，，不合。

(2)若，即，则当时，或。

故存在点或满足条件。

2.1考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。

　 例1．1)如图，在正方体的侧面内有

动点到直线与直线距离相等，则动点所在的曲线的形状为：(　　 )

分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。

_∵⊥面，即为点到直线的距离，故动点的轨迹应为过中点的抛物线，又点显然在此抛物线上，故选。

2)已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(　 )

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

2、　 命题方向

解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。

　 涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。

　 要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。

1、　 分值、题型、难度设置

圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题 一道解答题。小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。

考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。

主要题型：(1)定义及简单几何性质的灵活运用；(2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程)；(3)直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题)，确定参数的取值范围；(4)在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。

15、已知二次函数(其中)的图象与轴有两个不同的公共点，若，且时，；

(1)求证：；　　　　 (2)求证：

(3)求证：当，时，有

14、已知椭圆，与轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使得(O为原点)，求离心率的取值范围。

13、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，M为线段AB的中点。求M点到轴的最短距离。

12、周总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比短边长0.5m。那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积？