19．(本小题满分12分)

如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．

(Ⅰ)作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；

(Ⅱ)截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；

(Ⅲ)求DH的长；

(Ⅳ)求截面EFGH与底面ABCD所成锐角的余弦值．

解　　 (Ⅰ)如图，作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，连PQ得直线l，它便是所求作．………………3分

　　　　 (Ⅱ)截面EFGH为菱形．

　　　　 因平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，故EF∥GH．

　　　　 同理，FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形．

　　　　 又EF²=AB²+(BF-AE)²=25，FG²=BC²+(CG-BF)²=25，于是　 EF=FG=5，

　　　　 故　 四边形EFGH为菱形．…………………………6分

　　　　 (Ⅲ)由AE+CG=BF+DH，得　 DH=9． …………8分

　　　　 (Ⅳ)FH²=BD²+(DH-BF)²=26，

　　　　 　　 EG²=AC²+(CG-AE)²=74，

故菱形EFGH的面积为

　　　　 　 S_EFGH =．

　　　　 　 又S_ABCD =，

　　　　 　 由面积射影定理得，所求锐角的余弦为　　 ．…………………12分

18．(本小题满分12分)

　　　 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：

　　　　 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？

　　　　 　(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？

解　　 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85．…………………………………2分

　　　　 (1)

　　　　 =[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]

　　　　 =(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)

　　　　 =0.003

　　　　 答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．……………………………………7分

　　　　 (2)P()

= P(

=

=[1-P(A)]·P(B)·P(C)+P(A)·[1-P(B)]·P(C)+P(A)·P(B)·[1-P(C)]

=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)　　　 =0.329．

　　　　 答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．…………………………………12分

17．(本小题满分12分)

　　　 已知 ，．

　　　　 (1)求的值；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)求的值．

解　　 (1)将已知两式平方相加得，故．………7分

　　　　 (2)∵，………………………………………………9分

∴． ∴．　 …………………………………………12分

16．若，且，则的值是　　 11　　　 ．

　　　　 答　 由≥10，得　 lg()≥lg10=1，即(lgx)²+(lgy)²≥1= (lgx+lgy)²，于是2lgxlgy≤0，从而lgx与lgy中必有一个为0，即x与y中必有一个为1，因而另一个为10．

15．为等差数列的前n项和，若，则=　　　 4　　　 　．

　　　　 答　 由，即 ，得．

　　　　 ，．故=4．

14、已知，则的最小值为_____2____

13、某人要买房，若要第层楼，则因上下楼造成的不满意度为，但随楼层升高，环境的不满意度降低。设要第层楼时，环境的不满意度为，则此人应选第___6___层楼.

12．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且满足，，，则

的最大值为(为三角形的面积)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (C)

　　　　 A．8　　　　　　　　　　　　　　　　 B．16　　　　　　　　　　　　　　　 C．32　　　　　　　　　　　　　　　 D．64

答　 易知AB，AC，AD两两互相垂直，进而AB²+AC²+AD²=(2r)²=64．

　　　　 S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

　　　　 ≤=．

11．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y= -x²，值域为{-1，-9}的“同族函数”共有　　　　　　　　　 (C)

　　　　 A．7个　　　 　　　　　　　　 B．8个　　　　　　　　　　　　　　 C．9个　　　　　　　　　　　　　　 D．10个

　　　　 答　 定义域中可能有的元素为1，-1，3，-3，而且在1与 -1，3与 -3中各至少有一个在定义域内．

当定义域中只有2个元素时，可有{1，3}，{1，-3}与{-1，3}，{-1，-3}，共4种可能；

当定义域中含有3个元素时，可能=4种可能；

当定义域中含有4个元素时，只有1种可能．　　 4+4+1=9．

10．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a＞b＞0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 (C)

　　　　 A．60°　　　　　　　　　　　　　 B．75°　　　　　　　　　　　　　 C．90°　　　　　　　　　　　　　 D．120°

　　　　 答　 依题意， ， ，故△ABF为直角三角形

且∠ABF为直角，答案选C．