23．(钦州市大寺中学3)

已知函数f(x)是在(0，+)上每一点处可导的函数，若上恒成立，

(1)求证：函数上单调递增；

(2)求证：当

　　 1)证明：由g(x)=′(x)=

　　　 由xf′(x)＞f(x)可知：g′(x) ＞0在x＞0上恒成立.

　　　 从而g(x)= …………………………………… 5分

　 (2)由(1)知g(x)=

　 在x₁＞0,x₂＞0时，　 ……………………9分

于是f(x₁)＜……………………11分

两式相加得到：f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂) ……………………………………………12分

22．(天津市六校联考)

　 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为.

(I)若方程 有两个相等的实数根，求的解析式；

(II)若函数无极值，求实数的取值范围。

解：(Ⅰ)设　　 (a≠0)，则

　　　　　 　……　　 ①

　　　　 　……　　 ②

又∵有两等根

　　　 ∴……　 ③

由①②③得　　　　　　　　 　　

又∵

　 ∴a<0, 故

∴　　　　　　　　　

　　 (Ⅱ)

　　　 ∵g(x)无极值

　　 ∴方程

　　　 得　　

21．(临沭县实验中学4)

已知函数

(Ⅰ)若函数在上恒为单调函数，求实数的取值范围;

(Ⅱ)设是函数的两个极值点，若直线AB的斜率不小于 ，试求实数的取值范围.

解：(Ⅰ)∵为R上的单调函数，

∴对恒成立，(因为对不恒成立)…2分

∴，即　 ………………………………………………………4分

(Ⅱ)∵在处函数有极值

∴△=即或且………………………6分

　……8分

=

化简得即　　 ……………………………………11分

∴　　　　　　　 ……………………………………12分

20．(临沭县实验中学)

已知函数f(x)=ax³+x²－bx+4(a≠0)在x=1处取到极值。

(1)求a,b满足的关系式(用a表示b)

(2)解关于x的不等式f(x)+2x>1－6ax

(3)问当时，给定定义域为D=［0,1］时，函数是否满足对任意的都有.如果是,请给出证明；如果不是，请说明理由.

解：(1)由已知得　　 ∵　　 ---------2分

∴3a+2-b=0即b=3a+2　　　　　　　　　　　 ---------4分

(2)由(1)得b=3a+2

(2)式化为ax³+x²-(3a+2)x+4+2x>-6ax+1　　　 -------6分

∴ax³+x²+3ax+3>0　 ∴(ax+1)(x²+3)>0∴ax+1>0　　　　　　　 -------8分

　　 ∴当a>0时，不等式的解集为

　 　当a<0时，不等式的解集为　　　 -------10分

(3)令即3ax²+2x-(3a+2)=0　　 可得x=1或　　　　　　　　

　 ∵，∴>1　　 这时当时，

当时, ∴在时，函数f(x)为减函数----12分

　 ∴当时，

　 ∴对任意_，

_{显然0<1+3a<1,故总成立} -------_14分

19．已知函数，且函数的图像关于原点对称，其图像在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。

(1)求的解析式；

(2)是否存在区间[a，b]，使得函数g(x)的定义域和值域均为[a，b]，且解析式与的解析式相同？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，请说明理由。

解：(1)的图像关于原点对称，恒成立，即恒成立，。，

又的图像在x=3处的切线方程为，

即，据题意得：解得：，

　…………………6分

(2)由得x=0或。…………………8分

又，由得，且当或时，，当时。

所以，函数在和上递增，在上递减。

于是，函数在上的极大值和极小值分别为

，而，…………………12分

故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间 …………………14分

18．已知是函数的一个极值点，其中，且。

(Ⅰ)求与的关系表达式；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)当，时，函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围。

　 (2)、(3)略

17．(杭州二中)已知函数，

(I)设曲线在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆相切，求a的值；

(II)若函数在上是增函数，求a的取值范围．

解：(I)依题意有，，

　　 过点的直线的斜率为，所以，过点的直线方程为

　　 又已知圆圆心为(－1，0)半径为1，依题意，解之得.

(II)在上恒成立

，，故

16．[余杭中学(理)]

设定义在正实数集上的两个函数，

已知g(x)在上为减函数，上是增函数

　(Ⅰ) 若为f(x)的导函数,解不等式:;

(Ⅱ) 证明:方程上恰有一个实数根.

解：(1)由条件可得:a=2　　　 ----------2分

;

不等式可化为:　　　 ------2分

解之得:解集为　　　 　　　　　　　---3分

(Ⅱ)构造函数

　　　　　　　　　　　　 --------2分

时, 即在上单调递增 ----------2分

又 ，　　　　　　　　　　　　　　　　

，又在上单调递增，

是其方程的唯一实数根。　　 　　　　　　　　　-------3分

15．[莆田四中(二)]

曲线有极小值，当 处有极大值，且在x =1处切线的斜率为.

(1)求；

(2)曲线上是否存在一点P，使得y=的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.

解:(1)f′(x)=3ax²+2bx+c ,∵当x=1±时,f(x)有极小值及极大值

∴f′(1±)=0　 即1±为3ax²+2bx+c=0两根

　 ∴b=－3a , c=－6a　

又∵f(x)在x=1处切线的斜率为,

(2)假设存在P(x₀, y₀)，使得f(x)的图象关于P中心对称，则f(x₀+x)+f(x₀－x)=2y₀　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即－(x₀+x)³+(x₀+x)²+x₀+x－(x₀－x)³+(x₀－x)²+x₀－x=2y₀

化解得，∵对于任意x∈R等式都成立

　 ∴x₀=1, y₀=.易知P(1，)在曲线y=f(x)上.

∴曲线上存在P(1，)使得f(x)的图象关于中心对称

14．(2006扬州中学)

已知实数集R上的函数其中a、b、c、d是实数.

　 (Ⅰ)若函数在区间上都是增函数，在区间(－1，3)上是减函数，并且，求函数的表达式；

(Ⅱ)若a、b、c满足求证：函数是单调函数　

解：

　∵函数在区间上都是增函数，

在区间(－1，3)上是减函数，　 ∴－1和3必是的两个根，　 　

∴　 ∴.　 　

(Ⅱ)由条件

为二次三项式，并且

∴当a>0时，>0恒成立，此时函数是单调增函数，

当a<0时，<0恒成立，此时函数是单调减函数，

∴对任意给定的非零实数a，函数总是单调函数.