题目列表(包括答案和解析)
3.“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1各条棱长相等”是“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体”的
A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
2.
A 0 B C 1 D -1
1.
C 1 D -1
18.解:(Ⅰ)当,化为……(3分)
故,满足(Ⅰ)条件的集合为 ……(5分)
(Ⅱ)在区间上任取,则……(7分) ……(8分)
因故,又在上, ……(10分)
∴只有当时,即时
才总有, ……(12分)
∴当时,在上是单调减函数 (14分)
说明:本题若令求出,没有考虑的充分性扣2分
19 (本小题满分14分)已知:f(x)=,数列{}的前n项和记为,点(,)在曲线y=f(x)上(n∈N+),且,
(I)求数列{}的通项公式;
(II)求证:
(Ⅲ)数列{}的前n项和为,且满足:
设定的值,使得数列{}是等差数列
19 解:(Ⅰ)由于y=
∵点An(,)在曲线y=f(x)上(n∈N+)
∴= f()= , 并且 ……(2分)
,
∴数列{}为等差数列,并且首项为=1,公差为4 ……(4分)
∴=1+4(n-1) , ∴
∵ ,
∴ ……(5分)
(II)
……(8分)
……(10分)
(Ⅲ)由 ,
得:
……(12分)
,如果,此时
……(13分)
,
此时,数列{}是等差数列 ……(14分)
20 (本小题满分14分)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立,则称函数为区间D上的凸函数 ;
(1)证明:定义在R上的二次函数是凸函数;
(2)对于(1)中的二次函数,
若,求取得最大值时函数的解析式;
(3)定义在R上的任意凸函数,
若,证明:
20 证明:(1)任取x1 x2R,则
2f()-[f(x1)+f(x2)]
=2[a()2 + b+c] -[a x12+bx1+c] - [a x22+bx2+c]
=[(x1+x2)2-2(x12+x22)]= -(x1-x2)2 ……(2分)
a<0 2f()-[f(x1)+f(x2)] 0
由定义得 y = f(x)是R上的凸函数 ……(4分)
(2)解得 ……(5分)
|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)||f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|
|f(1)| 1,|f(2)| 2,|f(3)| 3
|f(4)| |f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| 16 ……(6分)
a<0时f(x)= ax2+bx+c开口向下,
当且仅当时取等号,代入上式得
f(x)= -4x2+15x-12 ……(8分)
(3) p q m n且p<m<n<q
不妨设m = p+i, 其中i
p+q = m+n
m-p = q-n = i
由定义知,任意x1 x2R,有f(x1)+f(x2) 2f() ……(9分)
取x1 = p x2 = p+2则有f(p)+f(p+2) 2f(p+1)
变形得f(p) -f(p+1) f(p+1) - f(p+2)
同理有 f(p+1) -f(p+2) f(p+2) - f(p+3)
f(p+2) -f(p+3) f(p+3) -f(p+4)
f(p+4) -f(p+5) f(p+5) - f(p+6)
… …
f(p+k-2) - f(p+k-1) f(p+k-1) -f(p+k)
累加求和得:f(p)-f(p+k-1) f(p+1) -f(p+k)
即 f(p)+ f(p+k) f(p+1)+ f(p+k-1) ……(11分)
递推i次得
f(p)+ f(p+k) f(p+1)+ f(p+k-1) f(p+2)+f(p+k-2) … f(p+i)+f(p+k-i)
f(p)+ f(p+k) f(p+i)+f(p+k-i)
令p+k = q,得f(p)+f(q) f(p+i) + f(q-i)
m-p = q-n = i
f(p)+f(q) f(m)+f(n) ……(14分)
17. 解:(Ⅰ)] ………………2分
……(4分)
= ……………6分
………………8分
(Ⅱ)由y =
……………………12分
…………14分
18 (本小题满分14分)设函数
(Ⅰ)当求函数满足时的的集合;
(Ⅱ)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数
16.(本小题满分12分) 已知数列满足: , 求证:数列是等比数列,并求其通项公式
16 解: 依题意得:
…………2分
(n=1,2,…)…………5分
…………8分
故数列是等比数列 …………10分
…………12分
17 (本小题满分14分)已知函数:
(Ⅰ)求函数的最大值和最小值;
(Ⅱ)当θ=时,求函数 满足的x的集合
15.(本小题满分12分)若A B C是△ABC的内角,cosB=, sinC=,
求cosA的值
解:∵ cosB=, ∴sinB=, 又sinC=, cosC=±, …………4分
若cosC=-, 则角C是钝角,角B为锐角,π-C为锐角,而sin(π-C)=,
sinB=, 于是: sin(π-C)< sinB……(5分)
∴ B >π-C, B+C>π,矛盾,
∴ cosC≠- , …………7分
cosC=,…………8分
故:cosA=-cos(B+C)=-(cosBcosC-sinBsinC)=, …………12分
(说明:本题如果没有去掉cosC=,扣3分)
13. 14. ①④②③或 ①③②④
三 解答题:(共6小题,共74分)
11. 12 1
6.( C )7.( B )8.( B )9.( D )10.( B )
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
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