23. (重庆卷)数列{a_n}满足.

(Ⅰ)用数学归纳法证明：；

(Ⅱ)已知不等式，其中无理数e=2.71828….

　 (Ⅰ)证明：(1)当n=2时，，不等式成立.

　 (2)假设当时不等式成立，即

那么.　 这就是说，当时不等式成立.

根据(1)、(2)可知：成立.

(Ⅱ)证法一：

由递推公式及(Ⅰ)的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

　 故　

上式从1到求和可得

即

(Ⅱ)证法二：

由数学归纳法易证成立，故

令

取对数并利用已知不等式得　

上式从2到n求和得　

因

故成立

22. (重庆卷)数列{a_n}满足a₁=1且8a_n+1-16a_n+1+2a_n+5=0 (n³1)。记(n³1)。

　　 (1) 求b₁、b₂、b₃、b₄的值；

　　 (2) 求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n。

解法一：

(I)

(II)因，

故猜想

因，(否则将代入递推公式会导致矛盾)。

∵

故的等比数列.

, 　

解法二：

(Ⅰ)由

整理得

(Ⅱ)由

所以

故

由得

故

解法三：

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)

从而

故

20. (浙江卷)已知实数a，b，c成等差数列，a+1，了+1，c+4成等比数列，求a，b，c．

解：由题意，得　　　　 由(1)(2)两式，解得

将代入(3),整理得

解得 或

故,或

经验算，上述两组数符合题意。

21(浙江卷)设点(，0)，和抛物线：y＝x²+a_n x+b_n(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－，由以下方法得到：

　 x₁＝1，点P₂(x₂，2)在抛物线C₁：y＝x²+a₁x+b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x²+a_n x+b_n上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．

　 (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

　 (Ⅱ)证明{}是等差数列．

解：(I)由题意，得。

设点是上任意一点，则

令 则

由题意，得即

又在上，

解得

故方程为

(II)设点是上任意一点，则

令，则.

由题意得g，即

又

即　 (*)

下面用数学归纳法证明

①当n=1时， 等式成立。

②假设当n=k时，等式成立，即

则当时，由(*)知

又

即当时，等式成立。

由①②知，等式对成立。

是等差数列。

19. (天津卷)若公比为c的等比数列{}的首项＝1且满足：(＝3，4，…)。

　　 (I)求c的值。

(II)求数列{}的前项和。

18. (天津卷)

已知.

(Ⅰ)当时，求数列的前n项和；

(Ⅱ)求.

(18)解：(Ⅰ)当时，．这时数列的前项和

．　　①

①式两边同乘以，得　　　 ②　

①式减去②式，得　

若，

，

若，

(Ⅱ)由(Ⅰ)，当时，，则．

当时，

此时，．

若，．

若，．

17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

　[解](1)设中低价房面积形成数列{a_n},由题意可知{a_n}是等差数列,

　 其中a₁=250,d=50,则S_n=250n+=25n²+225n,

　 令25n²+225n≥4750,即n²+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{b_n},由题意可知{b_n}是等比数列,

其中b₁=400,q=1.08,则b_n=400·(1.08)^n-1·0.85.

　 由题意可知a_n>0.85 b_n,有250+(n-1)·50>400·(1.08)^n-1·0.85.

　 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

　 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

16. (山东卷)

已知数列的首项前项和为，且

(I)证明数列是等比数列；

(II)令，求函数在点处的导数并比较与的大小.

解：由已知可得两式相减得

即从而当时所以又所以从而

故总有，又从而即数列是等比数列；

(II)由(I)知

因为所以

从而=

=-=

由上-=

=12①

当时，①式=0所以；

当时，①式=-12所以

当时，又

所以即①从而

15. (全国卷III)

在等差数列中，公差的等差中项.

已知数列成等比数列，求数列的通项

解：由题意得：……………1分　

　　　 即…………3分

又…………4分　

又成等比数列,

∴该数列的公比为，………6分

所以………8分

又……………………………………10分

所以数列的通项为……………………………12分

14.(全国卷II)

已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．

(Ⅰ) 证明为等比数列；

(Ⅱ) 如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．

(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)

解：(Ⅰ)设数列{a_n}的公差为d，依题意，由 　得

　　　 即，得 　因

　 当=0时，{a_n}为正的常数列 就有

　　 当=时，,就有

于是数列{}是公比为1或的等比数列

(Ⅱ)如果无穷等比数列的公比=1，则当→∞时其前项和的极限不存在。

因而=≠0，这时公比=，

这样的前项和为

则S=

　　 由，得公差=3，首项==3

13. (全国卷II) 已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．

(Ⅰ) 证明为等比数列；

(Ⅱ) 如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差．

　(I)证明：∵、、成等差数列

∴2=+，即

又设等差数列的公差为，则(－)=(－3)

这样，从而(－)=0

∵≠0

∴=≠0

∴

∴是首项为=，公比为的等比数列。

(II)解。∵

∴=3

∴==3