题目列表(包括答案和解析)

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1、不等式的概念及性质;  2、不等式的证明; 3、不等式的解法; 4、不等式的应用。

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《不等式》复习

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(三)解答题

   14、已知y=2x是△ABC中∠C平分线所在直线方程,A(-4,2),B(3,1),求点C坐标,并判断△ABC形状。

  15、已知n条直线:x-y+ci=0(i=1,2,…,n),其中C1=,C1<C2<C3<…<Cn,且每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4,…,n,(1)求Cn;(2)求x-y+Cn=0与坐标轴围成的三角形面积:(3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形面积。

16、已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b,a>2,b>2,(1)求证:(a-2)(b-2)=2;(2)求线段AB中点的轨迹方程;(3)求△AOB面积的最小值。

17、已知两圆x2+y2=4和x2+(y-8)2=4,(1)若两圆分别在直线y=x+b两侧,求b取值范围;(2)求过点A(0,5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。

18、当0<a<2时,直线1:ax-2y-2a+4=0与2:2x+a2y-2a2-4=0和坐标轴成一个四边形,要使围成的四边形面积最小,a应取何值?

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(二)填空题

   9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为(3,-2),则过点(a,b),(d,e)的直线方程是___________________。

10、已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ,则直线(m+3)x+y=

3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。

11、已知x,y满足,则x-y的最大值为________,最小值为________。

12、过点A(2,1),且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。

13、已知圆:(x-1)2+y2=1,作弦OA,则OA中点的轨迹方程是__________________。

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(一)选择题

1、若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限,则实数m取值范围是

A、-1<m≤        B、≤m≤1       C、<m<1         D、≤m≤1

2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为,则m值为

A、  或-3        B、-3或         C、-3或3         D、或3

3、点P在直线x+y-4=0上,O为原点,则|OP|的最小值是

A、  2           B、           C、          D、

4、过点A(1,4),且横纵截距的绝对值相等的直线共有

A、  1条          B、2条             C、3条          D、4条

5、圆x2+y2-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点,圆心为P,若∠APB=900,则C的值是

A、  -3           B、3              C、          D、8

   6、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1,则半径r取值范围是

A、  (4,6)        B、[4,6)         C、(4,6]         D、[4,6]

   7、将直线x+y-1=0绕点(1,0)顺时针旋转后,再向上平移一个单位,此时恰与圆x2+(y-1)2=R2相切,则正数R等于

A、            B、          C、1           D、

8、  方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆

A、关于x轴对称     B、关于y轴对称     C、关于直线x-y=0对称   D、关于直线x+y=0对称

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例1、已知定点P(6,4)与定直线1:y=4x,过P点的直线与­1交于第一象限Q点,与x轴正半轴交于点M,求使△OQM面积最小的直线方程。

解题思路分析:

直线是过点P的旋转直线,因此是选其斜率k作为参数,还是选择点Q(还是M)作为参数是本题关键。

通过比较可以发现,选k作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。

设Q(x0,4x0),M(m,0)

∵ Q,P,M共线

∴ kPQ=kPM

解之得:

∵ x0>0,m>0

∴ x0-1>0

令x0-1=t,则t>0

  ≥40

当且仅当t=1,x0=11时,等号成立

此时Q(11,44),直线:x+y-10=0

评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式,再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率k,截距b,角度θ,点的坐标都是常用参数,特别是点参数。

例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2),求:

  (1)BC边上的高所在直线方程;(2)AB边中垂线方程;(3)∠A平分线所在直线方程。

解题思路分析:

  (1)∵ kBC=5

∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=

∴ AD所在直线方程y+1=(x-2)

即x+5y+3=0

  (2)∵ AB中点为(3,1),kAB=2

∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0

  (3)设∠A平分线为AE,斜率为k,则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。

∵ kAC=-1,kAB=2

∴ k2+6k-1=0

∴ k=-3-(舍),k=-3+

∴ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0

评注:在求角A平分线时,必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时,都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程,设P(x,y)为直线AE上任一点,则P到AB、AC距离相等,得,化简即可。还可注意到,AB与AC关于AE对称。

例3、(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上圆方程;

  (2)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为,求圆方程。

解题思路分析:

研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低运算量。总之,要数形结合,拓宽解题思路。

(1)法一:从数的角度

若选用标准式:设圆心P(x,y),则由|PA|=|PB|得:(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2

又2x0-y0-3=0

两方程联立得:,|PA|=

∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10

若选用一般式:设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心()

解之得:

法二:从形的角度

AB为圆的弦,由平几知识知,圆心P应在AB中垂线x=4上,则由得圆心P(4,5)

∴ 半径r=|PA|=

显然,充分利用平几知识明显降低了计算量

(2)设A关于直线x+2y=0的对称点为A’

由已知AA’为圆的弦

∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心

设圆心P(-2a,a),半径为R

则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2

又弦长

∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+

∴ a=-7或a=-3

当a=-7时,R=;当a=-3时,R=

∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244

例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆,(1)求实数m取值范围;(2)求圆半径r取值范围;(3)求圆心轨迹方程。

解题思路分析:

  (1)m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0,即7m2-6m-1<0

(3)半径r=

 ∵

 ∴ 时,

 ∴ 0<r≤

  (3)设圆心P(x,y),则

消去m得:y=4(x-3)2-1

∴ 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)()

例5、如图,过圆O:x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线,M为上任一点,过M作圆O的另一条切线,切点为Q,求△MAQ垂心P的轨迹方程。

解题思路分析:

从寻找点P满足的几何条件着手,着眼于平几知识的运用。

连OQ,则由OQ⊥MQ,AP⊥MQ得OQ∥AP

同理,OA∥PQ

又OA=OQ

∴ OAPQ为菱形

∴ |PA|=|OA|=2

设P(x,y),Q(x0,y0),则

又x02+y02=4

∴ x2+(y-2)2=4(x≠0)

评注:一般说来,当涉及到圆的切线时,总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系;涉及到圆的弦时,常取弦的中点,考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。

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7、本章主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数与方程,等价变换等。

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6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上,理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。

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5、圆与二元二次方程一一对应,这些二元二次方程方程特征为:(1)二次项中无xy交叉项;(2)x2,y2项前面系数相等;(3)x,y的一次项系数D,E及常数项F满足D2+E2-4F>0。

圆方程常见形式:(1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=R2(R>0),其中(a,b)为圆心,R为半径;(2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=0;(3)参数式:(x-a)2+(y-b)2=R2(R>0)的参数式为:x=a+Rcosθ,y=b+Rsinθ,其中θ为参数,表示旋转角,参数式常用来表示圆周上的点。

求圆方程的原理与求直线方程完全类似。

直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识,而不采用方程组理论(△法)。

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4、当直线位置不确定时,直线对应的方程中含有参数。含参数方程中有两种特殊情形,它们的对应的直线是有规律的,即旋转直线系和平行直线系。

在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中,当(x0,y0)确定,k变化时,该方程表示过定点(x0,y0)的旋转直线系,当k确定,(x0,y0)变化时,该方程表示平行直线系。

这些直线系还有其它表示形式:

(1)已知直线:Ax+By+C=0,则

方程Ax+By+m=0(m为参数)表示与平行的直线系;方程-Bx+Ay+n=0(n为参数)表示与垂直的直线系。

  (2)已知直线1:A1x+B1y+C=1=0,直线2:A2x+B2y+C2=0,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过1与2交点的直线系(不含2)

掌握含参数方程的几何意义是某种直线系,不仅可以加深数形结合的思想,还可以优化解题思想。

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