1. 方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。

A.　 1　　　 B.　 2　　 C.　 3　　 D.　 4

8. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 设a>0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)

[解] 将原方程化为：log(x－ak)＝log，　 等价于 　(a>0,a≠1)

∴ k＝－　 ( ||>1 ),　

设＝cscθ，　 θ∈(－,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|

当θ∈(－,0)时，f(θ)＝cscθ+ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；

当θ∈(0,)时，f(θ)＝…

综上，k的取值范围是…

[注] 引入新的变量，而用函数值域加以分析，此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。(分离参数法、三角换元法、等价转化思想)

[另解] (数形结合法)：

[再解] (方程讨论法)：

例2. 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。

[分析] 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，记f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。

[解] 设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则

解得x∈(,)

[注] 本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。

在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。

例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。

①.求公差d的取值范围； ②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)

[分析] ①问用a、S易求；②问利用S是n的二次函数而求什么时候取最大值。

[解]

[注] 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。

[另解②问](寻求a>0、a<0 )：

例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。

[分析] 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。

P 　　　　　 M A　　　　 H　　　　 B 　　　 D　　 C

[解] 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。

∴MD＝x+[(2r－x)sinθ]＝(sin+1)x－4rsinθx+4rsinθ

＝(sinθ+1)[x－]+

即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。

[注] 求最大值、最小值的实际问题，将文字说明转化成数学语言后，建立数学模型和函数关系式，利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。(见再现性题组第8题)

例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2+，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。

[解] 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；

由△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA+tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝(1+)

设tgA、tgC是方程x－(+3)x+2+＝0的两根，解得x＝1，x＝2+

设A<C，则tgA＝1，tgC＝2+，　 ∴A＝，C＝

…

例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。

[分析] 题设正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此构造一个一元二次方程求解。

[证明] 当x＝y时，可得x＝z，　 ∴x、y、z成等差数列；

当x≠y时，设方程(x－y)t－(z－x)t+(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。

∴t·t＝＝1　 ，　 即2y＝x+z ，　　 ∴x、y、z成等差数列

[注] 题设条件具备或经变形整理后具备x+x＝a、x·x＝b的形式，则利用根与系数的关系构造方程；具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可利用根的判别式构造一元二次方程。

例7. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤ 。

[证明] 设k＝cosA·cosB·cosC＝[cos(A+B)+cos(A－B)]·cosC＝[－cosC+cos(A－B)]cosC

整理得：cosC－cos(A－B)·cosC+2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。

∴　 △＝cos(A－B)－8k≥0　 即 8k≤cos(A－B)≤1　 ∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤

[注]既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosA·cosB·cosC＝…　 ＝

－cosC+cos(A－B)·cosC＝－[cosC－]+cos(A－B)≤cos(A－B) ≤

例8. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。

[解] 由题可知，不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：()+()+a>0

设t＝(),　 则t≥，　 又设g(t)＝t+t+a，其对称轴为t＝－

∴ t+t+a＝0在[,+∞)上无实根，　 即 g()＝()++a>0，得a>－

[注] 二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的。也可用分离参数法：

Ⅲ、巩固性题组：

7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。

6.关于x的方程sinx+cosx+a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。

5.　 已知等差数列的前n项和为S，且S＝S　 (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。

4.　 已知sinθ+cosθ＝，θ∈(，π)，则tgθ的值是_____。

A. －　　　　　　 B. －　　　　 C.　 　　　　D.　

3.　 已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a　 (a是常数)　 ______。

A.有且仅有一个实根　 B.至多一个实根　　 C.至少一个实根　 D.不同于以上结论

2.　 如果函数f(x)＝x+bx+c对于任意实数t，都有f(2+t)＝f(2－t)，那么_____。

A. f(2)<f(1)<f(4)　　 B. f(1)<f(2)<f(4)　 C. f(2)<f(4)<f(1)　 D. f(4)<f(2)<f(1)

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

Ⅰ、再现性题组：

1.　 方程lgx+x＝3的解所在的区间为_____。

A.　 (0,1)　　　 B.　 (1,2)　　 C.　 (2,3)　　 D.　 (3,+∞)

14. 函数f(x)＝(|m|－1)x－2(m+1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。