题目列表(包括答案和解析)
21、(本小题满分12分)设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点的作标;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于同的两点、,且为锐角(其中为作标原点),求直线的斜率的取值范围.
解析:本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力.
(Ⅰ)易知,,.
∴,.设.则
,又,
联立,解得,.
(Ⅱ)显然不满足题设条件.可设的方程为,设,.
联立
∴,
由
,,得.①
又为锐角,
∴
又
∴
∴.②
综①②可知,∴的取值范围是.
20、(本小题满分12分)设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为.
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值.
解析:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力.
(Ⅰ)∵为奇函数,
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此,
∴,,.
(Ⅱ).
,列表如下:
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极大 |
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极小 |
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所以函数的单调增区间是和
∵,,
∴在上的最大值是,最小值是.
19、(本小题满分12分)如图,平面平面,,,直线与直线所成的角为60°,又,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求多面体的体积.
解析:本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识,考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力.
(Ⅰ)∵平面平面,,平面.
∴平面
又∵平面
∴
(Ⅱ)取的中点,则.连接、.
∵平面平面,平面平面,.
∴平面.
∵,∴,从而平面.
作于,连结,则由三垂线定理知.
从而为二面角的平面角.
∵直线与直线所成的角为60°,
∴ .
在中,由勾股定理得.
在中,.
在中,.
在中,
故二面角的大小为
(Ⅱ)如图以为原点建立空间直角坐标系.
设,
有,,.
,
由直线与直线所成的角为60°,得
即,解得.
∴,
设平面的一个法向量为,则
由,取,得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角,故二面角的大小为.
(Ⅲ)多面体就是四棱锥
.
18、(本小题满分12分)已知,,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求.
解析:本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力.
(Ⅰ)由,,得.
∴.
于是.
(Ⅱ)由,得.
又∵,
∴.
由,得
∴.
17、(本小题满分12分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这些产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4种进行检验,求至少要1件是合格产品的概率.
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,来进行检验,只有2件产品合格时才接收这些产品,否则拒收,分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率,并求该商家拒收这些产品的概率。
解析:本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
(Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件.用对立事件来算,有
(Ⅱ)记“商家任取2件产品检验,其中不合格产品数为件” 为事件.
∴商家拒收这批产品的概率
.
故商家拒收这批产品的概率为.
16、下面有5个命题:
①函数的最小正周期是;
②终边在轴上的角的集合是;
③在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有3个公共点;
④把函数的图象向右平移得到的图象;
⑤角为第一象限角的充要条件是
其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号)
解析:①,正确;②错误;③,和在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.
15、已知的方程是,的方程是,由动点向和所引的切线长相等,则运点的轨迹方程是__________________
解析::圆心,半径;:圆心,半径.设,由切线长相等得
,.
14、在正三棱柱中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则与侧面所成的角是____________
解析:,点到平面的距离为,∴,.
13、的展开式中的第5项为常数项,那么正整数的值是 .
解析:.
12、如图,、、是同一平面内的三条平行直线,与间的距离是1,与间的距离是2,正三角形的三顶点分别在、、上,则⊿的边长是( )
(A)2 (B)
(C) (D)
解析:选D.过点C作的垂线,以、为轴、轴建立平面直角坐标系.设、、,由知,检验A:,无解;检验B:,无解;检验D:,正确.本题是把关题.在基础中考能力,在综合中考能力,在应用中考能力,在新型题中考能力全占全了.是一道精彩的好题.可惜区分度太小.
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