题目列表(包括答案和解析)
8.(北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:(Ⅰ)的值; (Ⅱ)的值.
解析:解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.
(Ⅱ)由
得解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设又
所以
由,即得, 所以. 9.(湖南卷)已知函数. (I)讨论函数的单调性; (Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.
解 (Ⅰ)由题设知.令.
当(i)a>0时,
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是增函数;
(i i)当a<0时,
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数在处分别是取得极值,.
因为线段AB与x轴有公共点,所以.即
.所以. 故.
解得 -1≤a<0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4].
7.(安徽卷)设函数,已知是奇函数。
(Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的单调区间与极值。
解析:(Ⅰ)∵,∴。
从而=是一个奇函数,所以得,由奇函数定义得;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而,由此可知,和是函数是单调递增区间;是函数是单调递减区间;
在时,取得极大值,极大值为,在时,取得极小值,极小值为。
6.(湖南卷)设,点P(,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.;(Ⅰ)用表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数在(-1,3)上单调递减,求的取值范围.
解:(I)因为函数,的图象都过点(,0),所以,
即.因为所以.
又因为,在点(,0)处有相同的切线,所以
而
将代入上式得 因此故,,
(II)解法一.
当时,函数单调递减.
由,若;若
由题意,函数在(-1,3)上单调递减,则
所以
又当时,函数在(-1,3)上单调递减.
所以的取值范围为
解法二:
因为函数在(-1,3)上单调递减,且是(-1,3)
上的抛物线,
所以 即解得
所以的取值范围为
4.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数 (Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.
解:(I)=3-2-1 若=0,则==-,=1
当变化时,,变化情况如下表:
|
(-∞,-) |
- |
(-,1) |
1 |
(1,+∞) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
极大值 |
|
极小值 |
|
∴的极大值是,极小值是
(II)函数,由此可知,取足够大的正数时,有>0,取足够小的负数时有<0,所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知:
当的极大值<0,即时,它的极小值也小于0,因此曲线=与轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。
当的极小值-1>0即(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线=与轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上。∴当∪(1,+∞)时,曲线=与轴仅有一个交点。
3.已知向量=(1,0),=(0,1),函数的图象在轴上的截距为1,在=2处切线的方向向量为,并且函数当时取得极值。
(1)求的解析式;(2)求的单调递增区间;(3)求的极值。
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程,
消去x2得方程 2x+2x2+1+a=0.
若判别式△=4-4×2(1+a)=0时,即a=-时解得x1=-,此时点P与Q重合.
即当a=-时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为 y=x- .
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知.当a<-时C1和C2有两条公切线
设一条公切线上切点为:P(x1,y1), Q(x2 , y2 ).
其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1,
y1+y2=x+2x1+(-x+a)= x+2x1-(x1+1)2+a=-1+a .
线段PQ的中点为同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.
2.已知f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且,f(5)=30,则求g(4)。
解:
∵f(2x+1)=4g(x) ∴
∴
又 f(5)=30=25+10+b ∴b=-5 d= ∴g(x)=x2+2x ∴g(4)=
函数y=-x2+a的导数y′=-2x, 曲线C2 在点Q(x2,-x+a)的切线方程是
1.已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.
(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.
解:本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力,满分12分
(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x+2x1)的切线方程是:
10.解析:曲线和在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1,它们与轴所围成的三角形的面积是.
9.设函数,(、、 是两两不等的常数),则 .0
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