题目列表(包括答案和解析)
8.(天津文10) 设f(x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y=f(x)的图象关于直线x=3对称,则下面正确的结论是 ( )
(A); (B);
(C); (D)
7.(山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为
(A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2
6.(全国II)如果函数y=f(x)的图像与函数的图像关于坐标原点对称,则y=f(x)的表达式为
(A)y=2x-3 (B)y=2x+3 (C)y=-2x+3 (D)y=-2x-3
5.(全国II)函数y=f(x)的图像与函数g(x)=log2x(x>0)的图像关于原点对称,则f(x)的表达式为
(A)f(x)=(x>0) (B)f(x)=log2(-x)(x<0)
(C)f(x)=-log2x(x>0) (D)f(x)=-log2(-x)(x<0)
4.(辽宁卷)设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A) f(x) f(-x)是奇函数 (B) f(x) |f(-x)|是奇函数
(C) f(x)- f(-x)是偶函数 (D) f(x)+ f(-x)是偶函数
3.(广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B.
C. D.
2.(福建卷)已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,设则
(A) (B) (C) (D)
1.(北京卷)已知是上的减函数,那么的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
11.(全国II)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
解法一:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, ……5分
(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax.……9分
(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),即当a>1时,对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1]. ……12分
解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)≥ax成立
即为g(x)≥g(0)成立. ……3分
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, ……6分
当x> ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数, ……9分
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
10.(全国卷I)设为实数,函数在和都是增函数,求的取值范围。
解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2.
(ⅰ)若△=0,即a=±,当x∈(-∞,),或x∈(,+∞)时,
f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.所以a=±.
(ⅱ)若△=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数,
所以a2>,即a∈(-∞,-)∪(,+∞)
(ⅲ)若△12-8a2>0,即-<a<,令f'(x)=0,解得x1=,x2=.
当x∈(-∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a<
由x2≤1得≤3-a,解得-<a<,从而a∈[1,)
综上,a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(-∞,-]∪[1,∞).
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