题目列表(包括答案和解析)

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8.(天津文10) 设f(x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y=f(x)的图象关于直线x=3对称,则下面正确的结论是            (   )

(A);   (B)

(C);   (D)

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7.(山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为

(A)-1      (B) 0       (C)  1         (D)2

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6.(全国II)如果函数y=f(x)的图像与函数的图像关于坐标原点对称,则y=f(x)的表达式为

(A)y=2x-3  (B)y=2x+3    (C)y=-2x+3 (D)y=-2x-3

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5.(全国II)函数yf(x)的图像与函数g(x)=log2x(x>0)的图像关于原点对称,则f(x)的表达式为

(A)f(x)=(x>0)  (B)f(x)=log2(-x)(x<0)  

(C)f(x)=-log2x(x>0)   (D)f(x)=-log2(-x)(x<0)

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4.(辽宁卷)设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是

(A) f(x) f(-x)是奇函数  (B) f(x) |f(-x)|是奇函数  

(C) f(x)- f(-x)是偶函数  (D) f(x)+ f(-x)是偶函数

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3.(广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A.   B.   

C.   D.

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2.(福建卷)已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,

(A)  (B)  (C)  (D)

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1.(北京卷)已知上的减函数,那么的取值范围是

(A)    (B)   (C)   (D)

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11.(全国II)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

解法一:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax

对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a g′(x)=0,解得xea1-1,   ……5分

(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,

g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),

即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax.……9分

(ii)当a>1时,对于0<xea1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea1-1)是减函数,

g(0)=0,所以对0<xea1-1,都有g(x)<g(0),即当a>1时,对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.

综上,a的取值范围是(-∞,1].   ……12分

解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)≥ax成立

即为g(x)≥g(0)成立. ……3分

对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-ag′(x)=0,解得xea1-1,    ……6分

xea1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,

当-1<xea1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数,   ……9分

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea1-1≤0.由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].

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10.(全国卷I)设为实数,函数都是增函数,求的取值范围。

解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2.

(ⅰ)若△=0,即a=±,当x∈(-∞,),或x∈(,+∞)时,

f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.所以a=±.

(ⅱ)若△=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数,

所以a2>,即a∈(-∞,-)∪(,+∞)

(ⅲ)若△12-8a2>0,即-<a<,令f'(x)=0,解得x1=,x2=.

当x∈(-∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a<

由x2≤1得≤3-a,解得-<a<,从而a∈[1,)

综上,a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(-∞,-]∪[1,∞).

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