6．(人教A版，必修2，P87，B组第1题)

如图5，边长为2的正方形ABCD中，

(1)点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：．

(2)当时，求三棱锥的体积．

变式题．如图5－1，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．

解(Ⅰ)在中，，

在中，，

∵，

∴．

∵平面平面，且交线为，

∴平面．

∵平面，

∴．

(Ⅱ)设与相交于点，由(Ⅰ)知，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面，且交线为，

如图6－2，作，垂足为，则平面，

连结，则是直线与平面所成的角．

由平面几何的知识可知，∴．

在中，，

在中，，可求得．

∴．

∴直线与平面所成的角的正弦值为．

5．(人教A版，必修2，P87，第10题)

如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论．

变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

变式题5－1，如图5，已知平面，

且是垂足．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

解(Ⅰ)因为，所以．同理．

又，故平面．

(Ⅱ)设与平面的交点为，连结、．

因为平面，所以，

所以是二面角的平面角．

又，所以，即．

在平面四边形中，，

所以．

故平面平面．

变式题5－2．如图5－1，已知直二面角，与平面、所成的角都为，．

为垂足，为垂足．

(Ⅰ)求直线与所成角的大小；

(Ⅱ)求四面体的体积．

解：(Ⅰ)如图5－2，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角(或其补角)．

因为．

所以．同理．

又与平面、所成角为，所以，，所以，．

在中，，从而．

因为，且为平行四边形，

所以．

又，所以．

故平面，从而．

在中，．

所以，

即直线与所成角的大小为．

(Ⅱ)在中，，所以．

三角形的面积，

故四面体的体积

．

4．(人教A版，必修2，P74．例2)

如图4，在正方体中，求直线与平面所成的角．

变式题：如图4－1，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求与平面所成的角的正弦值．

解：(Ⅰ)如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．

∴．

设，则．

∵，∴．

∴，∴，．

又，

∴且．

∴且．

∴且．∴平面．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知是平面的一个法向量，又，

∴．

∴与平面所成角的正弦值为．

3．(北师大版．必修2．P31．第4题)

如图3，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形

变式题：如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．

(Ⅰ)试判断四边形的形状；

(Ⅱ)求证：平面平面．

解(Ⅰ)如图3－2，取的中点，连结、．

∵、分别是和的中点，

∴，

在正方体中，有

，　∴，

∴四边形是平行四边形，

∴．

又、分别是、的中点，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴．

故．

∴四边形是平行四边形．

又≌，

∴，

故四边形为菱形．

(Ⅱ)连结、、．　 ∵四边形为菱形，

∴．

在正方体中，有

，

∴平面．

又平面，

∴．

又，

∴平面．

又平面，

故平面平面

2．(人教A版，必修2，P20．例3)

如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图(单位：cm)．

(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积．

解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2－2所示．

(Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm，高为2cm)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm)．

所以所求表面积，

所求体积．

变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图(单位：cm)．

(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积；

(Ⅲ)设异面直线、所成角为，求．(理科考生)

解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2－4所示．　

(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．

由，，

可得．

故所求几何体的全面积

所求几何体的体积

(Ⅲ)由，且，可知，

故为异面直线、所成的角(或其补角)．

由题设知，，

取中点，则，且，

．

由余弦定理，得

　　　　　　　　．

1．(人教A版，必修2．P17．第4题)

图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图(单位：cm)

(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积；

(Ⅲ)设异面直线与所成的角为，求．

解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1－2所示．

(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱．

由于底面的高为1，所以．

故所求全面积

　　　．

这个几何体的体积

(Ⅲ)因为，所以与所成的角是．

　　在中，，

　　故．

7．(冒泡排序)

变式：用冒泡排序法将数据列：57 , 38 , 45 , 86 , 73 , 12 , 91 , 34按从小到大的顺序排列，经过__2___趟排序后，得到的新数据列为：38 , 45 , 57 , 12, 73, 34 , 86 , 91

6．(北师大版第99页练习2)

设计算法，求出方程的解，画出算法流程图

变式：用基本语句写出求解方程的算法

解：INPUT　　 a , b

　　　 IF　　 a0　　 THEN　

　　　 ELSE

　　　 IF　　 b=0　　 THEN　　 输出“全体实数“

　　　 ELSE　

　　　　　　 输出“无解”

　　　　　　 END　 IF

　　　 END　

5．(北师大版第130页例1)

设计算法，根据输入x的值，计算y的值

变式：以下给出的是用条件语句编写的程序，根据该程序回答

　　 　INPUT　　 x

　　　 IF　　 x<3　　 THEN　

　　　 ELSE

　　　 IF　　 x>3　　 THEN　　

　　　 ELSE　

　　　　　　 y=2

　　　　　　 END　 IF

　　　 END　 IF

　　　 PRINT　 y

　　　　　 END

若输入4，则输出结果是____15____

4．(北师大版第114页习题1　 7)

函数，请设计算法流程图，要求输入自变量，输出函数值。

变式：到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)，银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取，超过5000元，一律收取50元手续费。请设计算法流程图，计算当输入汇款额x元时，输出银行收取的手续费y元。