1．(人教A版选修2-3第66页例4)

某射手每次射击击中目标的概率是 ，求这名射手在 10 次射击中，

(1)恰有 8 次击中目标的概率；

(2)至少有 8 次击中目标的概率 ？

变式1：某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为　　　　　　 　．

[解析]：他能及格则要解对4道题中解对3道或4道：解对3道的概率为：，解对4道的概率为：，且A与B互斥，他能及格的概率为．

变式2：设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。

(1)　　　 三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；

　　　 (2) 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．

　　　　　　　　　　　 [解析](I)设A_K表示“第k人命中目标”，k=1，2，3.

　　　 这里，A₁，A₂，A₃独立，且P(A₁)=0.7，P(A₂)=0.6，P(A₃)=0.5.

　 　　　 从而，至少有一人命中目标的概率为

　　　 恰有两人命中目标的概率为

　 　　　 答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44．

(II)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为

　　　 答：他恰好命中两次的概率为0.441.

变式3：在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局赢的概率为　 已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：

(1)　 中国女排在这种情况下取胜的概率；

(2)　 求本场比赛只打四局就结束的概率．(均用分数作答)

[解析](1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，∴中国女排取胜的概率为

(2)

变式4： 一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求.

[解析]设正面向上的概率为P,依题意:

,1-P=2P,

解得:,

硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为:

.

1． 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？

解　 飞机成功飞行的概率：

^{4引擎飞机为：}

2引擎飞机为：

要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要

所以

1． 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求：

(1)　 2件都是合格品的概率；

(2)　 2件都是次品的概率；

(3)1件是合格品，1件是次品的概率。

解　 从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等.为基本事件总数.

(1)00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A₁，那么

(2)由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为.记“任取2件都是次品”为事件A₂,那么事件A₂的概率为：

(3)记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为种，则事件A₃的概率为：

备用课时三　 相互独立事件同时发生的概率

例题

例1 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.

解　 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。

,命中野兔的概率为

例2　 1个产品要经过2道加工程序，第一道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率.

解　 设“第一道工序出现次品“为事件A，“第二道工序出现次品”为事件B，“至少有一道工序出现次品”该产品就是次品，所求概率为

例3　 如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是，现在发现电路不通了，那么至少有两个焊接点脱落的概率是多少？

解：

例4　 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：

(1)其中至少有一件废品的概率； (2)其中至多有一件废品的概率.

解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.

则P(A)=0.05,　 P(B)=0.1,

(1)至少有一件废品的概率

(2)至多有一件废品的概率

作业

1． 袋中有a只黑球b只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率.

解法一：把a只黑球和b只白球都看作是不同的，将所有的球都一一摸出来放在一直线上的a+b个位置上，把所有的不同的排法作为基本事件的全体，则全体基本事件的总数为(a+b)！，而有利事件数为a(a+b-1)!故所求概率为P=。

解法二：把a只黑球和b只白球看作是不同的，将前k次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，总数为，有利事件为，故所求概率为P=

解法三：把只考虑k次摸出球的每一种可能作为基本事件，总数为a+b，有利事件为a,故所求概率为.

备用课时二　 互斥事件有一个发生的概率

例题

例1 房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一月内的概率.

解　 6个人生日都不在同一月内的概率P()=.故所求概率为P(A)=1-P()=1-.

例2 从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。

解法1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件B₁；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件B₂；每两张牌是同一花色为事件B₃；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件B₄，可见，B₁,B₂,B₃,B₄彼此互斥，且A=B₁+B₂+B₃+B₄。

P(B₁)= , P(B₂)= ,

　 P(B₃)= , P(B₄)= ,

　 P(A)=P(B₁)+P(B₂)+P(B₃)+P(B₄) 0.8945

解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A，则为取出的四张牌的花色各不相同，　　 P()=，

答：至少有两张牌花色相同的概率是0.8945

例3 在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：

(1)恰有1件次品的概率；(2)至少有1件次品的概率.

解 (1)从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。

恰有一件次品的概率P=.

(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A₁,恰有2件次品为事件A₂，3件全是次品为事件A₃,则它们的概率

P(A₁)= =,,,

而事件A₁、A₂、A₃彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率

P(A₁+A₂+A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)= .

法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=

例4　 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.

解　 从52张牌中任取4张，有种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法

注　 研究至少情况时，分类要清楚。

作业

6.(Ⅰ)①,②; (Ⅱ),,故A与B是不独立的．

备用课时一　 随机事件的概率

例题

例1　 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：

(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？

(2)三次内打开的概率是多少？

(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？

解　 5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。

(1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率P(A)==

(2)三次内打开房门的结果有种，因此所求概率P(A)= =

(3)方法1　 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率P(A)= =.

方法2　 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种.因此，三次内打开的结果有()种，所求概率P(A)=

例2 　某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.

(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？

(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？

解 (1)储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.

(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.

例3 　一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？(用组合数表示)

解　 设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I₁，事件A是“从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I₁)= ，于是P(A)=.

例4　 将一枚骰子先后抛掷2次，计算:

(1)一共有多少种不同的结果.

(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？

(3)向上数之积是12的概率是多少？

解 (1)将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果.

(2)向上的数之积是12，记(I,j)为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)4种情况.

(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= =.

作业

1. D　 2. A　　 3. 　　4. 0.625 　　5. (Ⅰ) ;　 (Ⅱ)0.416+0.448=0.864.

3.(Ⅰ)，；(Ⅱ)1人 . 　　4. (Ⅰ)0.94,　 0.44; (Ⅱ)0.441

作业答案

1. (Ⅰ) ; (Ⅱ)　 2. (Ⅰ)(Ⅱ) 　

6.　 对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．(Ⅰ)求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套； ②B：乙正好取得两只配对手套；(Ⅱ)A与B是否独立？并证明你的结论．

例题答案

5.　　　　 甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8. 求:

(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.