5.组合数公式

===(∈N^*，，且).

4.排列恒等式

(1);(2);

(3); (4);

(5).

(6) .

3.排列数公式

==.

(，∈N^*，且)．注:规定.

2.分步计数原理(乘法原理)

.

1.分类计数原理(加法原理)

.

(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.

(2)了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.

(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.

(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.

(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.

(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.

[注意]这部分内容复习的重点有：排列组合的理论基础、原理，二项式定　理的通项公式，二项式系数的性质等.

4．(人教A版选修2-3第100页例2)

一只红铃虫的产卵数 　和温度 　有关，现收集了 7 组观测数据列于表中，试建立 　与 　之间的回归方程。

温度	21	23	25	27	29	32	35
产卵数个	7	11	21	24	66	115	325

变式1：为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表，

(1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；

(2) 用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；

(3) 求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01)，并用相关指数比较所求回归模型的效果.

参考数据：，，，，，，，，，，.

解答：(1) 由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是.　 ………………………………………………………………………………………………………3分

(2) 变量y与x、z与x的相关系数分别是

、.　 ……………………………………………5分

可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. 　…………………………6分

(3) 设y与x、z与x的线性回归方程分别是、.

根据所给的数据，可以计算出，

.　 ……………………………………………………10分

所以y与x和z与x的回归方程分别是

、.　 …………………………………………………………11分

又y与x、z与x的相关指数是、.　……13分

故回归模型比回归模型的拟合的效果好. …14分

3．(人教A版选修2-3第86页B组2)

若 ，求 。

变式1：随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，如果P(ξ<1)=0.8413，求P(－1<ξ<0).

[解析]∵ξ-N(0，1)，

∴P(－1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=Φ(1)－Φ(0)=0.8413－0.5=0.3413.

变式2：一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，3²)和N(6，2²)，投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?

[解析]对第一个方案，有x-N(8，3²)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ()=1－Φ(－1)=1－［1－Φ(1)]=Φ(1)=0.8413.

对第二个方案，有x-N(6，2²)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ()=1－Φ(－0.5)=Φ(0.5)=0.6915.

相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案.

变式3：在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.

(Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人？

(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可供查阅的(部分)标准正态分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.8888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

[解析]：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．

[解答](Ⅰ)设参赛学生的分数为，因为-N(70，100)，由条件知，

P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，

参赛总人数约为≈526(人)．

(Ⅱ)假定设奖的分数线为x分，则

P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(x)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故设奖得分数线约为83.1分．

2．(人教A版选修2-3第77页例4)

随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差。

变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为，现在连续射击4次，求击中目标的次数ξ的概率分布．

[解析]击中目标的次数ξ可能为0，1，2，3，4。

当ξ=0时，，

当ξ=1时，，

当ξ=2时，，

当ξ=3时，，

当ξ=4时，，

所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P

变式2：袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．

[解析]ξ的所有可能的取值为：0，1，2．

当ξ=0时，，

当ξ=1时，，

当ξ=2时，，

ξ	0	1	2
P

评述：++==1．

变式3：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.

　 (1)求的分布列；

(2)求的数学期望；

(3)求“所选3人中女生人数”的概率.

[解析](1)可能取的值为0，1，2。　 ．

所以，的分布列为

	0	1	2
P

(2)由(1)，的数学期望为

(3)由(1)，“所选3人中女生人数”的概率为

．

变式4：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

[解析](Ⅰ)依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：

ξ	0	1	2	3
P

甲答对试题数ξ的数学期望

Eξ=0×+1×+2×+3×=.

(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

P(A)===，P(B)===.

因为事件A、B相互独立，

方法一：

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

P()=P()P()=1－)(1－)=.

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P()=1－=.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

方法二：

∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)

=×+×+×=.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.