49、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列().

(1)若，求；

(2)试写出关于的关系式，并求的取值范围；

(3)续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？

[解](1).　　　　　　　　　　　 …… 4分

　 (2)，　　　　　　　　　　　　 …… 8分

　　 ，

　　 当时，.　　　　　　　　　　 …… 12分

　 (3)所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.　　　 …… 14分

研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分

研究的结论可以是：由，

　　 依次类推可得　

　　 当时，的取值范围为等.　　　　　　　　　　　　 …… 18分

48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；

　 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语

　 言描述为：若有限数列 满足，则　　　　　　　　　　

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(结论用数学式子表示).

和

47、规定a△b=，a, b，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为 　(1,+¥ )　 　

46、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

　　 明文　　　　　　　　　　 密文　　　　　　 密文　　　　　　　　 明文，

　　 现在加密密钥为y=log_a(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，

　　 再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密

　　 后得到明文为 　　14　　 　。

45、⑴证明：当a＞1时，不等式成立。

⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。

　　 ⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。

解：(1)证：,∵a＞1，∴＞0，

　　　　　 ∴原不等式成立 (6¢)

　 (2)∵a-1与a⁵-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽

　　　　 为a＞0且a¹1 (9¢)

　 (3)根据(1)(2)的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有(12¢)

　　　 证：左式-右式= (14¢)

　　　 若a＞1，则由m＞n＞0Þa^m-n＞0,a^m+n＞0Þ不等式成立；

　　　 若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜a^m-n＜1, 0＜a^m+n＜1Þ不等式成立.(16¢)

44、已知点列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)(n∈N)

　　 顺次为一次函数图象上的点，

　 点列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)(n∈N)

　　 顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a(0＜a＜1)，

　　 对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成以

　　 B_n为顶点的等腰三角形。

⑴求{y_n}的通项公式，且证明{y_n}是等差数列；

⑵试判断x_n+2-x_n是否为同一常数(不必证明)，并求出数列{x_n}的通项公式；

　　 ⑶在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。

解：(1)(nÎN),y_n+1-y_n=,∴{y_n}为等差数列 (4¢)

　 (2)x_n+1-x_n=2为常数 (6¢) ∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x_6,,…，x_2n都是公差为2的等差数列，

　　　　 ∴x_2n-1=x₁+2(n-1)=2n-2+a，x_2n=x₂+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，

　　　　 ∴x_n=　 (10¢)

　 (3)要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()

　　　　 当n为奇数时，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).

　　　　 Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1)　 (*)

　　　　 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； (14¢)

　　　　 当偶数时，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.

　　　　 ∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1)　 (*¢)，取n=2，得a=,

　　　　 若n≥4，则(*¢)无解.

　　　　 综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. (18¢)

43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数的值域为。

42、已知函数的最大值为正实数，集合

，集合。

(1)求和；

(2)定义与的差集：且。

设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。

(3)若函数中，， 是(2)中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。

答案：(1)∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分

　　　　 ∴，。…………………………6分

　 (2)要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。…………………………………………………9分

②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则…………………………………………………………………………12分

(3)由(2)知…………………………13分

　 ………………………………………………18分

41、已知

(1), 求的最小值

(2)P、Q关于点(1，2)对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。

(3)在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质

由　　　　 可抽象出

由　　　　 可抽象出

(1) …………3’

等号当x=2时成立， …………………………4’

(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)………………………………………………5’

由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………8’

(3) h(x)=_______y=2^x等_______, 9’　　 φ(x)=____y=lgx等__11’

40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有=　　　　 　。