题目列表(包括答案和解析)
19.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线()相交于两点.
(I)若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值;
(II)是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)
10.已知直线(是非零常数)与圆有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( )
A.60条 B.66条 C.72条 D.78条
7.双曲线的左准线为,左焦点和右焦点分别为和;抛物线的准线为,焦点为与的一个交点为,则等于( )
A. B. C. D.
19.解:由条件知,设,.
(I)当与轴垂直时,可设点的坐标分别为,,
此时.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入,有.
则是上述方程的两个实根,所以,,
于是
.
综上所述,为常数.
(II)解法一:设,则,,
,,由得:
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
解法二:同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时,由(I) 有.…………………②
.………………………③
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
当时,,由④⑤得,,将其代入⑤有
.整理得.
当时,点的坐标为,满足上述方程.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
故点的轨迹方程是.
湖北理
19.(本小题满分13分)
已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是.
(I)证明,为常数;
(II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程.
9.设分别是椭圆()的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
20.解:由条件知,,设,.
解法一:(I)设,则则,,
,由得
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
(II)假设在轴上存在定点,使为常数.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根,所以,,
于是
.
因为是与无关的常数,所以,即,此时=.
当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,,
此时.
故在轴上存在定点,使为常数.
解法二:(I)同解法一的(I)有
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根,所以.
.
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
当时,,由④⑤得,,将其代入⑤有
.整理得.
当时,点的坐标为,满足上述方程.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
故点的轨迹方程是.
(II)假设在轴上存在定点点,使为常数,
当不与轴垂直时,由(I)有,.
以上同解法一的(II).
湖南文
20.(本小题满分12分)
已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.
(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;
(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
9.设分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
19、(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,过轴正方向上一点任作一直线,与抛物线相交于两点,一条垂直于轴的直线,分别与线段和直线交于,
(1)若,求的值;(5分)
(2)若为线段的中点,求证:为此抛物线的切线;(5分)
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4分)
解:(1)设过C点的直线为,所以,即,设A,=,,因为,所以
,即,
所以,即所以
(2)设过Q的切线为,,所以,即,它与的交点为M,又,所以Q,因为,所以,所以M,所以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线。
(3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知Q,因为PQ轴,所以
因为,所以P为AB的中点。
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