题目列表(包括答案和解析)
1.(★★★★★)给出四个命题:(1)若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;(2)若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC为钝角三角形;(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8. (人教A版116复习参考题B组第7题)
要制造一个无盖的盒子,形状为长方体,底宽为2m。现有制盒材料60m2,当盒子的长、高各为多少时,盒子的体积最大?
变式1:今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论
解:不对
设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G,则由杠杆平衡原理有:
,
①×②得G2=, ∴G=
由于,故 ,由平均值不等式 > 知说法不对
设计意图:基本不等式的应用。
7. (人教A版115复习参考题B组第1题)
求证:
变式1:己知都是正数,且成等比数列,
求证:
证明:
成等比数列,
都是正数,
设计意图:基本不等式的灵活应用。
变式2:若,求证ab与 不能都大于
证明:假设ab, (1-a) (1-b)都大于
设计意图:基本不等式与累乘、反证法综合应用。
6.(人教A版115复习参考题A组第2题)
已知集合,,求.
变式1:已知A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+b≤0}且A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x|x>-2},求a、b的值
解:A={x|-2<x<-1或x>0},
设B=[x1,x2],由A∩B=(0,2]知x2=2,
且-1≤x1≤0, ①
由A∪B=(-2,+∞)知-2≤x1≤-1 ②
由①②知x1=-1,x2=2,
∴a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2
设计意图:一元二次不等式与集合的运算综合。
变式2:解关于x的不等式
解:下面对参数m进行分类讨论:
①当m=时,原不等式为x+1>0,∴不等式的解为
②当时,原不等式可化为
,∴不等式的解为或
③当时,原不等式可化为
,
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式无解
综上述,原不等式的解集情况为:
①当时,解为;
②当时,无解;
③当时,解为;
④当m=时,解为;
⑤当时,解为或
设计意图:含参数的一元二次不等式的解法。
5.(人教A版113页习题3.4A组第1题)
(1)把36写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?
(2)把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?
变式1:函数y =+的值域为
解:y=+= (+1)+-1≥2-1=1 ,所以值域为[1, +∞)
设计意图:均值不等式的灵活应用.
变式2:设x≥0, y≥0, x2+=1,则的最大值为__
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+=1
∴==
≤==
当且仅当x=,y=(即x2= )时, 取得最大值
解法二: 令(0≤≤)
则=cos=
≤=
当=,
即=时,x=,y=时,取得最大值
设计意图:均值不等式的灵活应用.
4.(人教A版105习题3.3A组第2题)
画出不等式组表示的平面区域.
变式1:点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是______
解:(-2,t)在2x-3y+6=0的上方,则2×(-2)-3t+6<0,解得t> 答案:t>
设计意图:熟悉判断不等式所代表的区域的方法.
变式2:求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面区域的面积
解:|x-1|+|y-1|≤2可化为
或或或
其平面区域如图
∴面积S=×4×4=8
设计意图:不同形式的可行域的作图.
7.(★★★★★)已知函数f(x)= (b<0)的值域是[1,3],
(1)求b、c的值;
(2)判断函数F(x)=lgf(x),当x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论;
(3)若t∈R,求证:lg≤F(|t-|-|t+|)≤lg.
[科普美文]数学中的不等式关系
数学是研究空间形式和数量关系的科学,恩格斯在《自然辩证法》一书中指出,数学是辩证的辅助工具和表现形式,数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素,等与不等关系正是该点的生动体现,它们是对立统一的,又是相互联系、相互影响的;等与不等关系是中学数学中最基本的关系.
等的关系体现了数学的对称美和统一美,不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质,产生了实数的大小关系,简单不等式,不等式的基本性质,如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式,不等式发展为一个人丁兴旺的大家族,由简到繁,形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系,又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗?显然不是,由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件,不同类型的不等式又有不同的解法;不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下,阐述论证过程,揭示内在规律,基本方法有比较法、综合法、分析法;探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题,常采用观察-归纳-猜想-证明的思路,以数学归纳法完成证明.另外,不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.
数学科学是一个不可分割的有机整体,它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支,相互之间有着千丝万缕的联系,因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题,诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明;不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之,不等式的应用体现了一定的综合性,灵活多样性.
等与不等形影不离,存在着概念上的亲缘关系,是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性,而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔,没有等的和谐,没有等的恰到好处,没有等的天衣无缝,但它如山之挺拔,峰之隽秀,海之宽阔,天之高远,怎能不让人心旷神怡,魂牵梦绕呢?
6.(★★★★★)设函数f(x)定义在R上,对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)求证:f(x)在R上单调递减;
(3)设集合A={ (x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)},集合B={(x,y)|f(ax-g+2)=1,a∈R},若A∩B=,求a的取值范围.
5.(★★★★)某种商品原来定价每件p元,每月将卖出n件,假若定价上涨x成(这里x成即,0<x≤10.每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的 z倍.
(1)设y=ax,其中a是满足≤a<1的常数,用a来表示当售货金额最大时的x的值;
(2)若y=x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.
4.(★★★★★)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程f(x)=x的两实数根为x1,x2.
(1)如果x1<2<x2<4,设函数f(x)的对称轴为x=x0,求证x0>-1;
(2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围.
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