6．(北师大版第64页A组第9题)图像变换

变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．

当时，，

当时，．

作出函数图像，由图像可得单调区间．

在和上，函数是增函数；在和上，函数是减函数．

变式2： 解：若则，显然不是偶函数，所以①是不正确的；

若则，满足，但的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；

若，则，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，∴在区间[a，+∞上是增函数，即③是正确的；

显然函数没有最大值，所以④是不正确的．

变式3： 解：，

(1)当c=0时，，满足，是奇函数，所以①是正确的；

(2)当b=0，c>0时，，

方程即 或 ，

显然方程无解；方程的唯一解是 ，所以② 是正确的；

(3)设是函数图像上的任一点，应有，

而该点关于(0，c)对称的点是，代入检验即，也即，所以也是函数图像上的点，所以③是正确的；

(4)若，则，显然方程有三个根，所以④ 是不正确的．

5．(人教A版第43页A组第6题)奇偶性

变式1： 解：函数是偶函数 Þ 　Þ ，

当时，是常数；当时，，在区间上是增函数，故选D．

变式2：解：根据题意可知应有且，即且，∴点的坐标是．

变式3： 解：(I)当时，函数，此时，为偶函数；

当时，，，

，，此时既不是奇函数，也不是偶函数．

(II)(i)当时，，

若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．

若，则函数在上的最小值为，且．

(ii)当时，函数，

若，则函数在上的最小值为，且，

若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．

综上，当时，函数的最小值为；

当时，函数的最小值为；

当时，函数的最小值为．

4．(人教A版第43页B组第1题)最值

变式1： 解：作出函数的图像，

开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，

∴m的取值范围是，故选C．

变式2： 解：函数有意义，应有，解得，

∴　 Þ 　Þ ，

∴　 M=6，m=0，故M + m=6．

变式3： 解：函数的表达式可化为．

① 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾．

②当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴为所求．

③当，即时，是最小值，

依题意应有，解得，又∵，∴为所求．

综上所述，或．

3．(人教A版第43页B组第1题)单调性

变式1： 解：函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，

由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，

∴，解得，故选D．

变式2：解：函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，

∴　 ，即．

变式3：解：函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是，

∵　 已知函数在上是单调函数，∴　 区间应在直线的左侧或右侧，

即有或，解得或．

2．(北师大版第52页例2)图像特征

变式1： 解：根据题意可知，∴ ，故选D．

变式2： 解：∵，∴抛物线的对称轴是，

∴　 即，

∴，∴、、，

故有，选C．

变式3： 解：观察函数图像可得：

①　　 a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)；

③ (和x轴的交点)；④()；

⑤ (判别式)；⑥ (对称轴)．

1．(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法

变式1： 解：由题意可知，解得，故选D．

变式2： 解：由题意可知，解得b=0，∴，解得c=2．

变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为，

展开得，

∴，

∴，即，解得．

所以，该二次函数的图像是由的图像向上平移 单位得到的，它的解析式是，即．

10．(北师大版第52页例3)应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

变式1：在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二(注：利润和投资单位：万元)

(I)　　　 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(II)　　 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元(精确到1万元)？

变式3：设a为实数，记函数的最大值为g(a) ．

(Ⅰ)求g(a)；(Ⅱ)试求满足的所有实数a．

二次函数答案

9．(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系

右图是二次函数的图像，它与x轴交于点和，试确定以及，的符号．

变式1：二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为

变式2：直线与抛物线

中至少有一条相交，则m的取值范围是．

变式3：对于函数 f (x)，若存在 x₀ Î R，使 f (x₀) = x₀ 成立，则称 x₀ 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x ² + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x₁、x₂．

(I)若 x₁ < 1 < x₂，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ；

(II)若 | x₁ | < 2 且 | x₁－x₂ | = 2，求 b 的取值范围．

8．(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题

当具有什么关系时，二次函数的函数值恒大于零？恒小于零？

变式1：已知函数 f (x) = lg (a x ² + 2x + 1) ．

(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；

(II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．

变式2：已知函数，若时，有恒成立，求的取值范围．

变式3：若f (x) = x ² + bx + c，不论 a、b 为何实数，恒有 f (sin a )≥0，f (2 + cos b )≤0．

(I) 求证：b + c = －1；

(II) 求证： c≥3；

(III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．

7．(北师大版第54页A组第6题)值域

求二次函数在下列定义域上的值域：

(1)定义域为；(2) 定义域为．

变式1：函数的值域是

　A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．

变式3：已知二次函数 f (x) = a x ² + bx(a、b 为常数，且 a ≠ 0)，满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．

(1)求 f (x) 的解析式；

(2)是否存在实数 m、n(m < n)，使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果

存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由．