2．(2007浙江)设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　 )

1　　　　　　　　　　 选择题

1．设集合，，则等于(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

(二)2008年高考预测

1．在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空等小题。

2．从近三年全国高考卷来看，全国卷与其它省市卷相比，涉及数形结合的题目略少，预测2008年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是考纲明确的一个命题方向。

(一)方法总结

1．数形结合，数形转化常从一下几个方面：

(1)集合的运算及文氏图

(2)函数图象，导数的几何意义

(3)解析几何中方程的曲线

(4)数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；

2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。

8．(2006福建)已知函数

(I)求在区间上的最大值

(II)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

分析：本题是利用导数方法讨论单调性、最值和方程的解的问题，这些都离不开函数的图象，要通过画图或想着图一步步解答。

解：(I)

当时，(如图11)在上单调递减，

当即时，

当即时，在上单调递增，

综上，

(II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点(如图12)，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

当时，是增函数；

当时，是减函数；

当时，是增函数；

当或时，

当充分接近0时，当充分大时，

要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

　即

所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为

点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

7．求函数的值域。

分析：本题需要去绝对值化为分段函数，再按直线x=a相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨论，借助于图象可有效帮助解题。

解：

(1)当时，如图8知

(2)当时，如图9

知

(3)当时，如图10

知，

综上所述：当时，值域为

当时，值域为

当时，值域为

点评：分段去绝对值，数形结合，分类讨论。

6．已知关于x的实系数二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α,β．证明:

(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│a│<4+b且│b│<4;

(Ⅱ)如果2│a│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2．

分析：借助函数图像讨论方程的解是很直观有效的方法，由函数y=x²+ax+b的图像(如图7)易知│α│<2,│β│<2,

证明：根据韦达定理│b│=│αβ│<4．

因为二次函数f(x)=x²+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2．

故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0, 2a>-(4+b);

4-2a+b>0, 2a<4+b．

∴2│a│<4+b．

(Ⅱ)由 2│a│<4+b 得 4+2a+b>0

即 2²+2a+b>0　 f(2)>0．　　　　　　　　　　 ①

及 4-2a+b>0 即 (-2)²+(-2)a+b>0,f(-2)>0．　　　 ②

由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外．若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾．

若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾．

综上所述α,β均落在(-2,2)内．

∴│α│<2,│β│<2．

　点评：这是1993年全国高考题的压轴题,标准答案中给的第一解法是利用求根公式写出两根,再由已知求出的范围,再转化为a、b的关系，有一定的难度。但是利用数形结合，由二次函数的图象讨论实根分布问题，就容易多了，其压轴功能就大打了折扣。

5．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．

分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，反映了变量x、y之间的对应关系，但还不一定是函数关系，函数中一个x只能对应唯一确定的y，即图像上看不能有“上下重叠”的点。但加上条件xy＜0呢？画出图形(如图5)则一目了然。

解：，故

解得，

又

因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪)3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，+∞)．

点评：本例考查对函数概概念的理解，揭示了函数与解析几何中方程的内在联系--任何一个函数的解析式都可看作一个方程，但方程中x与y的对应关系未必是一个函数．要要处理好这个关系，又如：

(2006全国I.20)在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：

(Ⅰ)点M的轨迹方程； [(Ⅱ)的最小值]。

解:(I)……易得椭圆方程的方程为:　 　(x>0,y>0)

下面想要通过导数确定过第一象限点P(x₀,y₀) (0<x₀<1)切线的斜率，就要建立x与y的函数关系，结合图形(如图6)可知：

y=2(0<x<1) (而不能是)

又,,

所以切线AB的方程为:

从而，又，设M(x,y)

由=+可得M的轨迹方程为： +　 =1 (x>1,y>2)　

4． 解三角不等式组

分析：利用三角函数的图像或三角函数线(如图4)求解,先求出一个周期上的解再写出全部。

解答：

由图得解集为：

点评：三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简捷、高效。

3．设集全，且，求有序集合组{A，B，C}的个数(不同的顺序算不同的组)。

解析：借助文氏图(图3)可知，三个集合A、B、C把全集U分成八个部分，需按1、3是否属于C分类，再把2、4、5三个数放到如图中①②③④⑤五个位置即可，每一种放法对应一个有序集合组。

按1、3是否属于C分四类：

(1)1、3C;　　　 (2)1∈C且3C;

(3)3∈C且1C;　 (4)1、3∈C

共有5³×4=500种。

点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。