题目列表(包括答案和解析)
11.(全国Ⅰ18)(本小题满分12分)
四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)设侧面为等边三角形,求二面角的大小.
解:(1)取中点,连接交于点,
,
,
又面面,
面,
.
,
,
,即,
面,
.
(2)在面内过点做的垂线,垂足为.
,,
面,
,
则即为所求二面角.
,,
,
,
则,
.
10.(辽宁19)(本小题满分12分)
如图,在棱长为1的正方体中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥,截面PQGH∥.
(Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;
(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,
并求出这个值;
(Ⅲ)若,求与平面PQEF所成角的正弦值.
解法一:
(Ⅰ)证明:在正方体中,,,
又由已知可得
,,,
所以,,
所以平面.
所以平面和平面互相垂直.··································································· 4分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
,是定值.······································································ 8分
(Ⅲ)解:设交于点,连结,
因为平面,
所以为与平面所成的角.
因为,所以分别为,,,的中点.
可知,.
所以.················································································· 12分
解法二:
以D为原点,射线DA,DC,DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz.由已知得,故
,,,,
,,,
,,.
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得
,
,
.
因为,所以是平面PQEF的法向量.
因为,所以是平面PQGH的法向量.
因为,所以,
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.········································································· 4分
(Ⅱ)证明:因为,所以,又,所以PQEF为矩形,同理PQGH为矩形.
在所建立的坐标系中可求得,,
所以,又,
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为,是定值.················································· 8分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知是平面的法向量.
由为中点可知,分别为,,的中点.
所以,,因此与平面所成角的正弦值等于
. 12分
9.(湖南18)(本小题满分12分)
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面积ABCD,PA=.
(Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求二面角A-BE-P的大小.
解 解法一(Ⅰ)如图年示,连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,所以PB⊥BE.
又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在RtΔPAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°.
故二面角A-BE-P的大小是60°.
解法二 如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(),D(),P(),E().
(Ⅰ)因为,平面PAB的一个法向量是=(0,1,0),所以和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF,所以平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知=(1,0,-), =(0,,0),
设=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量,则有
所以y1=0,x1=z1.故可取=(,0,1).
而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).
于是,cos<,>=.
故二面角A-BE-P的大小是
8.(江苏选修)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点,记.当为钝角时,求的取值范围.
解:由题设可知,以、、为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则有,,,
由,得,所以
显然不是平角,所以为钝角等价于
,则等价于
即 ,得
因此,的取值范围是
7.(江西20)如图,正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直,且长度均为2.、分别是、的中点,是的中点,过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、,已知.
(1)求证:⊥面;
(2)求二面角的大小.
解 :(1)证明:依题设,是的中位线,所以∥,
则∥平面,所以∥。
又是的中点,所以⊥,
则⊥。
因为⊥,⊥,
所以⊥面,则⊥,
因此⊥面。
(2)作⊥于,连。
因为⊥平面,
根据三垂线定理知,⊥,
就是二面角的平面角。
作⊥于,则∥,则是的中点,则。
设,由得,,解得,
在中,,则,。
所以,故二面角为。
解法二:(1)以直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则
所以
所以
所以平面
由∥得∥,故:平面
(2)由已知设
则
由与共线得:存在有得
同理:
设是平面的一个法向量,
则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为
6.(江苏16)(14分)
在四面体中,,且E、F分别是AB、BD的中点,
求证:(1)直线EF//面ACD
(2)面EFC⊥面BCD
[解析]:本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定,
考查空间想象能力、推理论证能力。
(1)∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD
又∵面ACD,AD面ACD∴直线EF//面ACD
(2)
5.(宁夏18)(本小题满分12分)
如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的正视图和俯视图在下面画出(单位:cm)
(Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(Ⅲ)在所给直观图中连结,证明:面.
解:(Ⅰ)如图
····················································································· 3分
(Ⅱ)所求多面体体积
.···································································· 7分
(Ⅲ)证明:在长方体中,
连结,则.
因为分别为,中点,
所以,
从而.又平面,
所以面. 12分
4.(广东18)(本小题满分14分)
如图5所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP-△BAD.
(1)求线段PD的长;
(2)若PC=R,求三棱锥P-ABC的体积.
解:(1) BD是圆的直径
又 ,
, ;
(2 ) 在中,
又
底面ABCD
三棱锥的体积为
.
3.(福建19)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
解法一:
(Ⅰ)证明:在△PAD卡中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,
所以OB∥DC.
由(Ⅰ)知PO⊥OB,∠PBO为锐角,
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以OB=,
在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1,
在Rt△PBO中,PB=,
cos∠PBO=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得CD=OB=,
在Rt△POC中,PC=,
所以PC=CD=DP,S△PCD=·2=.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h,
由VP-ACD=VA-PCD,
得S△ACD·OP=S△PCD·h,
即×1×1=××h,
解得h=.
解法二:
(Ⅰ)同解法一,
(Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),
D(0,1,0),P(0,0,1).
所以=(-1,1,0),=(t,-1,-1),
∞〈、〉=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为,
(Ⅲ)设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,x0),
由(Ⅱ)知=(-1,0,1),=(-1,1,0),
则 n·=0,所以 -x0+ x0=0,
n·=0, -x0+ y0=0, 即x0=y0=x0,
取x0=1,得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d=
2.(北京16)(本小题共14分)
如图,在三棱锥中,,,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小.
解法一:
(Ⅰ)取中点,连结.
,
.
,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ),,
.
又,
.
又,即,且,
平面.
取中点.连结.
,.
是在平面内的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.
二面角的大小为.
解法二:
(Ⅰ),,
.
又,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则.
设.
,
,.
取中点,连结.
,,
,.
是二面角的平面角.
,,,
.
二面角的大小为.
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