题目列表(包括答案和解析)
1.下列命题中是真命题的是( )
A.{}是空集 B.{x∈N||x-1|<3}是无限集
C.空集是任何集合的真子集 D.x2-5x=0的根是自然数
解析:A中,{}的元素是;B中,集合元素是-1,0,1,2,3;C中,空集是任何非空集合的真子集;D中,x2-5x=0的根是0和5,是自然数.
答案:D
13.设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…).
证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).
证明:必要性:设{an}是公差为d1的等差数列,则bn+1-bn=(a n+1-an+3)-(an-an+2)=(a n+1-an)-(a n+3-a n+2)=d1-d1=0,
∴bn≤b n+1(n=1,2,3,…)成立.
又c n+1-cn=(a n+1-an)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,…).
∴数列{cn}为等差数列.
充分性:设数列{cn}是公差为d2的等差数列,且bn≤b n+1(n=1,2,3,…).
证法一:∵cn=an+2a n+1+3a n+2, ①
∴c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4. ②
①-②,得cn-c n+2=(an-a n+2)+2(a n+1-a n+3)+3(a n+2-an+4)=bn+2b n+1+3b n+2,
∴cn-c n+2=(cn-cn+1)+(c n+1-cn+2)=-2d2.
∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2, ③
从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2. ④
④-③,得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0. ⑤
∵bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0,
∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1,2,3,…).
由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,…),则an-a n+2=d3(常数).
由此cn=an+2an+1+3aa+2=4an+2an+1-3d3,
从而cn+1=4an+1+2an+2-3d3=4a n+1+2an-5d3.
两式相减,得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3,
因此an+1-an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3(常数)(n=1,2,3…),
∴数列{cn}是等差数列.
证法二:令An=a n+1-an,由bn≤b n+1,知an-a n+2≤a n+1-a n+3,
从而a n+1-an≥a n+3-a n+2,即An≥A n+2(n=1,2,3…).
由cn=an+2a n+1+3a n+2,c n+1=a n+1+2a n+2+3a n+3,得c n+1-cn=(a n+1-an)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2),
即An+2A n+1+3A n+2=d2时 ⑥
由此得A n+2+2A n+3+3An+4=d2. ⑦
⑥-⑦,得(An-A n+2)+2(A n+1-A n+3)+3(A n+2-An+4)=0. ⑧
∵An-A n+2≥0,A n+1-A n+3≥0,A n+2-A n+4≥0,
∴由⑧,得An-A n+2=0(n=1,2,3,…).
于是由⑥,得4An+2A n+1=An+2A n+1+3A n+2=d2, ⑨
从而2An+4A n+1=4A n+1+2A n+2=d2. ⑩
由⑨和⑩,得4An+2A n+1=2An+4A n+1,
故A n+1=An,
即a n+2-a n+1=a n+1-an(n=1,2,3,…),
∴数列{cn}是等差数列.
12.判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
解法一:直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假.
原命题:已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1.
逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
判断如下:抛物线:y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上.
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
∵a<1,∴4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真.
解法二:根据命题之间的关系“原命题与逆否命题同真同假”,只需判断原命题的真假即可.
∵a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2) ≥0,即4a-7≥0,
解得a≥.
∵a≥>1,
∴原命题为真.
又∵原命题与其逆否命题同真同假,
∴逆否命题为真.
解法三:利用充要条件与集合的包含、相等关系求解.命题p:关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有非空解集.命题q:a≥1.
∴p:A={a|关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有实数解}
={a|(2a+1)2-4(a2+2) ≥0}={a|a≥}.q:B={a|a≥1}.
∵AB,
∴“若p则q”为真.
∴“若p则q”的逆否命题:“若q则p”为真,即原命题的逆否命题为真.
11.已知p:||≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),而p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为_______________.
解析:由题意,知q是p的必要不充分条件.由p:-1≤x≤11;由q:1-m≤x≤1+m,因此所以m≥10.
答案:m≥10
10.设p、q是两个命题,p:(|x|-3)>0,q:>0,则p是q的___________条件.
解析:考查充要条件的判定及不等式解法.
∵p:(|x|-3)>00<|x|-3<13<|x|<4-4<x<-3或3<x<4;
q:>0()()>0x>或x<,
∴p是q的充分而不必要条件.
答案:充分而不必要
9.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的___________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选一个填在横线上)
解析:∵A∩B={4}的充分条件是m2=4,
即m=±2,
∴“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
答案:充分不必要
8.(2008陕西高考,文6)“a=1”是“对任意正数x,≥1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:a=1≥>1,显然a=2也能推出,所以“a=1”是“对任意正数x,≥1”的充分不必要条件.
答案:A
7.下列各小题中,p是q的充要条件的是…( )
①p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点
②p:=1;q:y=f(x)是偶函数
③p:cosα=cosβ; q:tanα=tanβ
④p:A∩B=A;q:BA
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析:②由可得f(-x)=f(x),但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称;③α=β是tanα=tanβ的既不充分也不必要条件.
答案:D
6.在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的…( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:举反例,如A>30°,设A=160°,则sinA=sin20°<sin30°=,则“A>30°”不是“sinA>”的充分条件;如果sinA>,则A∈(30°,150°),
即有A>30°.故选B.
答案:B
5.设p、q是简单命题,则“p且q为假”是“p或q为假”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.不充分且不必要条件
解析:由“p且q为假”,知p、q中至少有一个为假即可;而“p或q为假”,则p、q都为假.由此可推得“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件,故选A.
答案:A
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