题目列表(包括答案和解析)
19. (理)(Ⅲ)同解法一 19.(Ⅰ)解,依题意每年投入构成首项为800万元,公比为的等比数列,每年旅游业收入组织首项为400万元,公比为的等比数列。………………………………2分
所以,………………………………4分
(Ⅱ)解,经过年,总收投入………5分
经过年,总收入……………6分
设经过年,总收入超过总投入,由此,,
化简得 ………………………………8分
设代入上式整理得,
解得,或(舍去)………………………………10分
由,时,,,=………12分
因为 在定义域上是减函数,所以 ……………………13分
答:至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。………………………………14分
19. (本题满分14分)
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,打算本年度投入800万元,以后每年投入将比上年平均减少,本年度旅游收入为400万元,由于该项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加.
(Ⅰ)设第年(本年度为第一年)的投入为万元,旅游业收入为万元,写出,的表达式;
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入超过总投入?
21. [解析](1)令,解得,由,解得,
∴函数的反函数,则,得.
是以2为首项,l为公差的等差数列,故. ……3分
(2)∵,∴,
∴在点处的切线方程为,
令, 得,∴,
∵仅当时取得最小值,∴,解之,
∴的取值范围为. ……7分
(3),.
则,
因,则,显然.
∴
∴
∵,∴,
∴,∴
∴. ……12分
21.(本小题满分12分)已知函数的反函数为,数列和满足:,,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)若数列的项仅最小,求的取值范围;
(3)令函数,,数列满足:,,且,其中.证明:.
20.解:(Ⅰ)因为,所以有
所以为直角三角形; …………………………2分
则有
所以, …………………………3分
又, ………………………4分
在中有
即,解得
所求椭圆方程为 …………………………6分
(Ⅱ)
从而将求的最大值转化为求的最大值 …………………8分
是椭圆上的任一点,设,则有即
又,所以 ………………10分
而,所以当时,取最大值
故的最大值为 ……………………12分
20.(本小题满分12分)已知均在椭圆上,直线、 分别过椭圆的左右焦点、,当时,有.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点,为圆的任一条直径,求的最大值.
19.解:(Ⅰ)已知函数, …………1分
又函数在处取得极值2, …………2分
即 …………………4分
(Ⅱ)由,得,即
所以的单调增区间为(-1,1) ………………… 6分
因函数在(m,2m+1)上单调递增,
则有, …………7分
解得即时,函数在(m,2m+1)上为增函数 ………8分
(Ⅲ)
直线l的斜率 …………9分
即 令, …………10分
则
即直线l的斜率k的取值范围是 ……………12分
19.(本小题满分12分)已知函数,在处取得极值为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若为图象上的任意一点,直线与的图象相切于点,求直线的斜率的取值范围.
19.(本小题满分12分)
某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①;②;③.(以上三式中、均为常数,且)
(I)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数,为什么?
(II)若,,求出所选函数的解析式(注:函数定义域是.其中表示8月1日,表示9月1日,…,以此类推);
(III)为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌.
解:(I)根据题意,应选模拟函数 2分
, 3分
若≥恒成立,即≥恒成立
解之得≤. 10分
(III)由(II)得≥,即≤ 11分
≤ 12分
13分
所以,得 9分
所以
所以直线的斜率为, 10分
则直线的方程可设为
由,得点的坐标为 12分
所以≥
当且仅当即时取等号. 14分
(20)(本小题满分12分)
已知数列的前项和为且。
(Ⅰ)求证数列是等比数列,并求;
(Ⅱ)已知集合问是否存在实数,使得对于任意的都有?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。
(20)解:(Ⅰ)当时, …………………………1分
时,由得
,变形得:………………………………………4分
故是以为首项,公比为的等比数列,………………………………6分
(Ⅱ)(1)当时,只有时
不适合题意 ……………………………………………………7分
(2)时,
即当时,不存在满足条件的实数………………………………………………………9分
(3)当时,
而
因此对任意的要使只需 解得………………………11分
综上得实数的范围是 ……………………………………………………12分
(21)(本小题满分12分)
已知抛物线的方程是圆的方程是
直线是的公切
线,是的焦点.
(Ⅰ)求与的值;
(Ⅱ)设是抛物线上的一动点,以为切点作的
切线交轴于点,若,则点在一定直线上,试证明之。
(21)解:(Ⅰ)由己知,圆的圆心为,半径
由题设圆心到直的距离
即解得(舍去)…………………………………………3分
设与抛物线相切的切点为又得
代入直线方程,得……………………6分
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的方程为焦点
设,由(Ⅰ)知以为切点的切线方程为…………8分
令得点的坐标为
所以 ……………………………………………10分
,因设
即点在定直线上 ……………………………………………………12分
(22)(本小题满分14分)
己知。
(Ⅰ)若,函数在其定义域内是增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)当时,证明函数只有一个零点;
(Ⅲ)的图象与轴交于两点中点为,求证:。
(22)解:(Ⅰ)依题意:
在上递增,对恒成立
即对恒成立,只需 ……………………………2分
当且仅当时取,
的取值范围为 ……………………………………………………………4分
(Ⅱ)当时,,其定义域是
……………………………………6分
时,当时,
函数在区间上单调递增,在区间上单调递减
当时,函数取得最大值,其值为
当时,即
函数只有一个零点 ……………………………………………………………9分
(Ⅲ)由已知得 两式相减,得
…………11分
由及,得
…………………………………12分
令且
在上递减,
……………………………………………………………………14分
20.证明:
假设∴ ………1分
∵,
∴=
…………………………………3分
是首项为2,公差为1的等差数列. ………………………………4分
=, …………6分
=. …………8分
, …………………………………9分
. …………………………………13分
.…………16
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