21. 解：(Ⅰ)，.∴直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为.　 ∴直线的方程为. 又∵直线与函数的图象相切,

∴方程组有一解.　 由上述方程消去，并整理得

　　　　 ①

依题意，方程①有两个相等的实数根，

解之，得或　.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，

　. 　.

∴当时，，当时，.

∴当时，取最大值，其最大值为2.

(Ⅲ) .

， 　， .

由(Ⅱ)知当时， ∴当时，，

.　　　 ∴

20. 解：(1)因为，　

　　　　 所以满足条件

　　　　 又因为当时，，所以方程有实数根0.

　　　　 所以函数是集合M中的元素.

　　 (2)假设方程存在两个实数根)，

　　　　 则，

　　 不妨设，根据题意存在数

　　　　 使得等式成立

　　　　 因为，所以

　　　　 与已知矛盾，所以方程只有一个实数根.

21(本小题共14分)

已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.

(Ⅰ)求直线的方程及的值；

(Ⅱ)若(其中是的导函数)，求函数的最大值；

(Ⅲ)当时，求证：

22. 解:(1)令 解得 由 解得

∴函数的反函数

则错误！不能通过编辑域代码创建对象。 得

是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………4分

(2)

在点处的切线方程为

令得

仅当时取得最小值，　 ∴的取值范围为………8分

(3)　

所以 又因 则

显然…………………………10分

　　 …………………………12分

.……………14分

20(本小题共14分)

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

(1)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2)集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

试用这一性质证明：方程只有一个实数根.

22．(本小题满分12分)

函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为.

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若数列的项中仅最小,求的取值范围；

(3)令函数,.数列满足:,且，(其中).证明:.

21. (1)以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系

　　　 若，即，动点所在的曲线不存在；

若，即，动点所在的曲线方程为；

　　　 若，即，动点所在的曲线方程为.

　…………………………4分

(2)当时，其曲线方程为椭圆

　　 由条件知两点均在椭圆上，且

设，，的斜率为，则的方程为，的方程为　 解方程组得，

　 同理可求得，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 面积=　　 ………………8分

令则

令　 所以，即　　

当时，可求得,故，　 故的最小值为，最大值为1. ……12分

(2)另解：令，则

解得

所以，而

因此，即最大值是1，最小值是.

21．(本小题满分12分)

已知线段，的中点为，动点满足(为正常数)．

(1)建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；

(2)若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．　　

20. (1)解：∵，∴．

令，得．

①若，则，在区间上单调递增.

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

③若，则，函数在区间上单调递减. ……6分

(2)解：∵，，

由(1)可知，当时，．

此时在区间上的最小值为，即．

当，，，∴．

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．

故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直……12分

20．(本小题满分12分)

已知，函数，(其中为自然对数的底数)．

(1)判断函数在区间上的单调性；

(2)是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21． 解(1)证：　 　　由　 得…………2分

在上点处的切线为，即　　　　 …………3分

又在上点处切线可计算得，即

∴直线与、都相切，且切于同一点()　　　 …………………4分

(2)

　　 　…………………6分

　 ∴在上递增

　 ∴当时……………8分

(3)

设上式为 ，假设取正实数，则·

当时，，递减；

当，，递增． ……………………………………12分

∴不存在正整数，使得

即　　　　　　　　　 …………………………………………14分

21．(本小题满分14分)已知曲线：(为自然对数的底数)，曲线：和直线：．

(1)求证：直线与曲线，都相切，且切于同一点；

(2)设直线与曲线　 ，及直线分别相交于，记，求在上的最大值；

(3)设直线(为自然数)与曲线和的交点分别为和，问是否存在正整数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由. (本小题参考数据≈2.7) ．