6、已知函数的最大值为正实数，集合

，集合。

(1)求和；

(2)定义与的差集：且。

设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。

(3)若函数中，， 是(2)中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。

解：(1)∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分

　　　　 ∴，。…………………………6分

　 (2)要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。…………………………………………………9分

②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则…………………………………………………………………………12分

(3)由(2)知…………………………13分

　 ………………………………………………18分

5、已知两个向量， .

(1)若t=1且，求实数x的值；

(2)对tÎR写出函数具备的性质.

解：(1)由已知得　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

解得，或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　……6分

(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

具备的性质：

①偶函数；

②当即时，取得最小值(写出值域为也可)；

③单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点(，)等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分

14、已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。

　　 设数列的前项和，

(1)求数列的通项公式；

(2)试构造一个数列，(写出的一个通项公式)满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；

(3)设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令(为正整数)，求数列的变号数。

解：(1)∵的解集有且只有一个元素，∴，

　　 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。

　　 当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。

　　 综上，得，，∴，

∴

(2)要使，可构造数列，∵对任意的正整数都有，

　　　 ∴当时，恒成立，即恒成立，即，

　　　 又，∴，∴，等等。

　 (3)解法一：由题设，

∵时，，

∴时，数列递增，

∵，由，

可知，即时，有且只有个变号数；

又∵，即，

∴此处变号数有个。

综上得 数列共有个变号数，即变号数为。

解法二：由题设，

　　　 时，令；

　　　 又∵，∴时也有。

综上得 数列共有个变号数，即变号数为。

13、已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n.

　　 (Ⅰ)若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，证明a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列；

　　 (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.

证：(Ⅰ) ∵S_m+1＝S_m+a_m+1，S_m+2＝S_m+a_m+1+a_m+2．

由已知2S_m+2＝S_m+S_m+1，∴ 2(S_m+a_m+1+a_m+2)＝S_m+(S_m+a_m+1)，

∴a_m+2＝－a_m+1，即数列{a_n}的公比q＝－.

　 　∴a_m+1＝－a_m，a_m+2＝a_m，∴2a_m+2＝a_m+a_m+1，∴a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列.

　　 (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，则S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列.

　　 设数列{a_n}的公比为q，∵a_m+1＝a_mq，a_m+2＝a_mq²．

由题设，2a_m+2＝a_m+a_m+1，即2a_mq²＝a_m+a_mq，即2q²－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.

　　 当q＝1时，A≠0，∴S_m， S_m+2， S_m+1不成等差数列.

逆命题为假.

12、(Ⅰ)已知函数：求函数的最小值;

(Ⅱ)证明:；

(Ⅲ)定理:若 均为正数,则有 成立

(其中．请你构造一个函数，证明：

当均为正数时，．

解：(Ⅰ)令得…2分

当时，　　 　故在上递减．

当故在上递增．所以，当时，的最小值为.….4分

(Ⅱ)由，有　即

故　．………………………………………5分

(Ⅲ)证明:要证：

只要证：

　设…………………7分

则

令得…………………………………………………….8分

当时，

故上递减，类似地可证递增

所以的最小值为………………10分

而

=

==

由定理知: 　故

故

即: .…………………………..14分

11、已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1，(其中，a、θ∈R均为常数)

(1)求函数y=f(x)的解析式；

(2)利用函数y=f(x)构造一个数列{x_n}，方法如下：

对于给定的定义域中的x₁，令x₂= f(x₁)，x₃= f(x₂)，…，x_n= f(x_n-1)，…

在上述构造过程中，如果x_i(i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止.

①　　 如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求a的取值范围；

② 如果取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求a实数的值.

解：(1)令　 则

　　　　 ①×②，并整理，得 y=，

　　　　 ∴y=f(x) =， (x≠a). 　　　　　………………………………4分

(2)①根据题意，只需当x≠a时，方程f(x) =x有解，

亦即方程　 x²+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.

　　　　 将x=a代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a.

　　　　 由 △=(1-a)²-4(1-a)≥0，得 a≤-3或a≥1，

即实数a的取值范围是.　　 …………………………9分

②根据题意，=a在R中无解，

亦即当x≠a时，方程(1+a)x=a²+a-1无实数解.

由于x=a不是方程(1+a)x=a²+a-1的解，

所以对于任意x∈R，方程(1+a)x=a²+a-1无实数解，

∴ a= -1即为所求a的值.　　 ……………………………………14分

10、，，┅，，，，┅，分别表示实数，，┅，中的最小者和最大者．

(1)作出函数＝｜+3｜+2｜－1｜(∈R)的图像；

(2)在求函数＝｜+3｜+2｜－1｜(∈R)的最小值时，有如下结论：

＝，＝4．请说明此结论成立的理由；

(3)仿照(2)中的结论，讨论当，，┅，为实数时，

函数＝++┅+∈R，＜＜┅＜∈R的最值．

解：(1)图略；

(2)当∈(－∞，－3)时，是减函数，

当∈－3，1)时，是减函数，

当∈1，+∞)时，是增函数，

∴＝，＝4．

(3)当++┅+＜0时，＝，，┅，；

当++┅+＞0时，＝，，┅，；

当++┅+＝0时，＝，，

＝，．

9、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，则称f (x)与g (x)在[m，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数f ₁(x) = log_a(x – 3a)与f ₂ (x) = log_a(a > 0，a≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．

　 (1)若f ₁(x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a的取值范围；

　 (2)讨论f ₁(x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？

解：(1)要使f ₁ (x)与f ₂ (x)有意义，则有

　　　　 要使f ₁ (x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义，

等价于真数的最小值大于0

即

　 (2)f ₁ (x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的

| f ₁ (x) – f ₂ (x)|≤1

≤1

|log_a[(x – 3a)(x – a)]|≤1

a≤(x – 2a)² – a²≤

对于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立

设h(x) = (x – 2a)² – a²，x∈[a + 2，a + 3]

且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边

当时

f ₁ (x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的

当< a < 1时，f ₁ (x)与f ₂ (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．

22、(本小题满分14分)

解：(I)，………1分　　 　

　　　　 　 …………4分

(Ⅱ)由已知得， ……1分

∴又所以的公比为2的等比数列，∴。………8分

　 (Ⅲ) ，

上是增函数

　 又不等式对所有的正整数n恒成立，

故的取值范围是…………14分

22．(本小题满分14分)已知函数.

(Ⅰ)数列求数列的通项公式；

(Ⅱ)已知数列，求数列的通项公式；

(Ⅲ)设的前n项和为Sn，若不等式对所有的正整数n恒成立，求的取值范围。