题目列表(包括答案和解析)
4.i是虚数单位,等于
A.i B.-i C.1 D.-1
3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正规视图如图所示,则其侧面积等于
A. B.2 C. D.6
2.计算的结果等于
A. B. C. D.
1.若集合,,则等于
A. B. C. D.
21、(本小题满分14分)
已知函数f(x)=,g(x)=alnx,aR。
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时,求其最小值(a)的解析式;
(Ⅲ)对(2)中的(a)和任意的,证明:
解 (Ⅰ)f’(x)=,g’(x)=(x>0),
由已知得 =alnx,
=, 解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为k=f’(e2)= ,
切线的方程为y-e=(x- e2).
(Ⅱ)由条件知
(1) 当a.>0时,令h (x)=0,解得x=,
所以当0 < x< 时 h (x)<0,h(x)在(0,)上递减;
当x>时,h (x)>0,h(x)在(0,)上递增。
所以x>是h(x)在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点。
所以Φ (a)=h()= 2a-aln=2
(2)当a ≤ 0时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。
故 h(x) 的最小值Φ (a)的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)
(Ⅲ)由(2)知Φ (a)=2a(1-ln2a)
对任意的
20.(本小题满分13分)
如图,椭圆C:的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1| = ,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,,是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
解 (Ⅰ)由知a2+b2=7, ①
由知a=2c, ②
又b2=a2-c2 ③
由 ①②③解得a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为。
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
假设使成立的直线l不存在,(Ⅰ)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且得
,即m2=k2+1.
∵,
=(+)(+) =+ + + =1+0+1-1=0
即X1X2+Y1Y2=0.
将y=kx+m代入椭圆方程,得
(3+4K2)X2+8kmx+ (4m2-12)=0 有求根公式可得 x1+x2=, x1 x2=.
O= x1 x2 + y1y2 = x1 x2 + (kx1+m ) (kx2+m)
= x1 x2 +k2 x1 x2 +km(x1+x2)+m2
= (1+k2) x1 x2 +km (x1+x2) +m2
将 ④ 5代入上式并 化简得
(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,
将m2=1+k2代入6并简化得-5(k2+1)=0,矛盾。
即此时直线L不存在。
()当直线L垂直于X轴 时,满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1.
当x=1时,ABP的坐标分别为(1,)(1.-)(1.0)
=(0,-) =(0,-)
=
当x=-1时,同理可得1,矛盾。即次直线来也不存在。
综上所述使=1直线L也不存在
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √ 2,E,F分别是AD,PC的重点
(Ⅰ)证明:PC ⊥平面BEF;
(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
解法一 (Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。
∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形。
∴A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2)
又E,F分别是AD,PC的中点,
∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1)。
∴=(2,2 √ 2,-2)=(-1,√ 2,1)=(1,0,1),
∴·=-2+4-2=0,·=2+0-2=0,
∴⊥,⊥,
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,
∴PC⊥平面BEF
(II)由(I)知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ,
则
∴ θ=45℃, ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45
解法二 (I)连接PE,EC在
PA=AB=CD, AE=DE,
∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形,
又F是PC 的中点,∴EF⊥PC,
又,F是PC 的中点,
∴BF⊥PC.
又
19 (本小题满分12分)
为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查,测得身高情况的统计图如下:
(1)估计该小男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;
(3)从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人,求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。
解 (1)样本中男生人数为40 ,由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。
(2)有统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人,样本容量为70 ,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率
(3)样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10,身高在170~180cm之间的人数为4。
设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人,求至少有1人身高在170~180cm之间”,
则
17.(本小题满分12分)
如图,A,B是海面上位于东西方向相聚5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船达到D点需要多长时间?
解 由题意知AB=海里,
∠ DAB=90°-60°=30°,∠ DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△ADB中,有正弦定理得
16.(本小题满分12分)
已知是公差不为零的等差数列, 成等比数列.
求数列的通项; 求数列的前n项和
解由题设知公差
由成等比数列得
解得(舍去)
故的通项
,
由等比数列前n项和公式得
15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)不等式的解集为.
B.(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的图与AB交于点D,则.
C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为则直线与圆C的交点的直角坐标为
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