4.(北京卷文16)如图，正方形ABCD和四边形ACEF

所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=,CE=EF=1

(Ⅰ)求证：AF//平面BDE；

(Ⅱ)求证：CF⊥平面BDF;

3.(北京卷理16)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.

(Ⅰ)求证：AF∥平面BDE；

(Ⅱ)求证：CF⊥平面BDE；

(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小。

证明：(I)设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。

(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C(0， 0， 0)，A(，，0)，D(，0， 0)，E(0， 0， 1)，F(，，1)。所以=(，，1)，=(0，－，1)，＝(－，0，1)。所以·= 0-1+1=0，·=－1+0+1＝0。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE

(III)由(II)知，=(，，1)，是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=(x,y,z),则·=0，·=0。

即

所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=()，从而cos(，)=

因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。

2.(安徽卷文19)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

(Ⅱ)求证：AC⊥平面EDB;

(Ⅲ)求四面体B-DEF的体积；

[命题意图]本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

[解题指导](1)设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得∥平面；(2)利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，平面；(3)证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.

[规律总结]本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.

1.(安徽卷理18)如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。

　 (Ⅰ)求证：∥平面；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小。

1.(四川卷理15文15)如图，二面角的大小是60°，线段.

，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是　　 .

解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D

连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

故∠ADC为二面角的平面角，为60°

又由已知，∠ABD＝30°

连结CB，则∠ABC为与平面所成的角

设AD＝2，则AC＝，CD＝1

AB＝＝4

∴sin∠ABC＝

答案：

6.(重庆卷文9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点

(A)只有1个　　　　　　　　 　　　(B)恰有3个

(C)恰有4个　　　　　　　　 　　　(D)有无穷多个

[答案]D

[解析]放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、

HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，

所以排除A、B、C，选D

亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等

5.(重庆卷理10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A.　 直线　　　　 B.　　 椭圆　　　 C.　　 抛物线　　　　 D. 双曲线

[答案]D

解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B

4.(全国Ⅱ卷文8)已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为

(A)　 　　　　　(B) 　　　　　　(C)　　 　　　　　　(D)

[答案]D：

[命题意图]本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

[解析]过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴

3.(全国Ⅱ卷理11文11)与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

(A)有且只有1个　　　　　　　　　　 (B)有且只有2个

(C)有且只有3个　　　　　　　　　　 (D)有无数个

[答案]D

[解析]直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

2.(全国Ⅰ卷文6)直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于

(A)30° 　　　　　(B)45°　　　　　 (C)60°　　　　　 　(D)90°

[答案]C

[命题意图]本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.

[解析]延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，