题目列表(包括答案和解析)
25.(陕西卷文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥E-ABC的体积V.
解 (Ⅰ)在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,∴EF∥BC.
又BC∥AD,∴EF∥AD,
又∵AD平面PAD,EF平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,
则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.
在△PAB中,AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.
∴S△ABC=AB·BC=××2=,
∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.
24.(陕西卷理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √ 2,E,F分别是AD,PC的重点
(Ⅰ)证明:PC ⊥平面BEF;
(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
解法一
(Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。
∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形。
∴A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2)
又E,F分别是AD,PC的中点,
∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1)。
∴=(2,2 √ 2,-2)=(-1,√ 2,1)=(1,0, 1),
∴·=-2+4-2=0,·=2+0-2=0,
∴⊥,⊥,
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,
∴PC⊥平面BEF
23.(山东卷文20)在如图所示的几何体中,四边形是正方形,平面,,、、分别为、、的中点,且.
(I)求证:平面平面;
(II)求三棱锥与四棱锥的体积之比.
[命题意图]本小题主要考查空间中的线面关系,考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算,考查试图能力和逻辑思维能力。
[解析](I)证明:由已知MA 平面ABCD,PD ∥MA,
所以 PD∈平面ABCD
又 BC ∈ 平面ABCD,
因为 四边形ABCD为正方形,
所以 PD⊥ BC
又 PD∩DC=D,
因此 BC⊥平面PDC
在△PBC中,因为G平分为PC的中点,
所以 GF∥BC
因此 GF⊥平面PDC
又 GF ∈平面EFG,
所以 平面EFG⊥平面PDC.
(Ⅱ )解:因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,不妨设MA=1,
则 PD=AD=2,ABCD
所以 Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD,PD=8/3
由于 DA⊥面MAB的距离
所以 DA即为点P到平面MAB的距离,
三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3,所以 Vp-MAB:Vp-ABCD=1:4。
22.(山东卷理19)如图,在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,∠ABC=45。。AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形。
(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;
(Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积。
[解析](Ⅰ)证明:因为ABC=45°,AB=2,BC=4,所以在中,由余弦定理得:,解得,
所以,即,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥,
又PA,所以,又AB∥CD,所以,又因为
,所以平面PCD⊥平面PAC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作于H,则
,又AB∥CD,AB平面内,所以AB平行于平面,所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离,过点B作BO⊥平面于点O,则为所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,所以,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得,AC=,所以四边形ACDE的面积为,所以
四棱锥P-ACDE的体积为=。
[命题意图]本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题,考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。
(标准答案) 本小题主要考察空间中的基本关系,考察线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和集合体体积的计算,考查识图能力、空间想象力和逻辑推理能力,满分12分
(|)证明:在△ABC中,因为∠ABC=45°,BC=4,AB=,
所以AC2=AB+BC2-2AB·BC·cos45°=8
因此 AC=,故BC2=AC2+AB2,所以∠BAC=90°
所以CD⊥PA,CD⊥AC,
又 PA,AC 平面PAC,且PAAC=A,
所以 CD⊥PAC,又 CD平面PCD,
所以 平面PCD⊥平面PAC--------------------------------------------
则,又 ,所以
解法二:由(|)知AB,AC,AP两两相互垂直,分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由于△PAB是等腰三角形,
所以 PA=AB=,又AC=,
因此直线PB与平面PCD所成的角为
(Ⅲ)因为AC∥ED,CD⊥AC,所以 四边形ACDE是直角梯形,
因为 AE=2,∠ABC=45°,AE∥BC,
所以 ∠BAE=135°,因此 ∠CAE=45°,
故 CD=AE·sin45°==2×=,
所以
又 PA⊥平面ABCDE,
所以
21.(全国Ⅱ卷理19文19)如图,直三棱柱中,,,为的中点,为上的一点,.
(Ⅰ)证明:为异面直线与的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线与的夹角为45°,求二面角的大小.
[分析]本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。
(1)要证明DE为AB1与CD的公垂线,即证明DE与它们都垂直,由AE=3EB1,有DE与BA1平行,由A1ABB1为正方形,可证得,证明CD与DE垂直,取AB中点F。连结DF、FC,证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。
(2)由条件将异面直线AB1,CD所成角找出即为FDC,设出AB连长,求出所有能求出的边长,再作出二面角的平面角,根据所求的边长可通过解三角形求得。
[解析]解法一:(Ⅰ)连结,记与的交点为F.因为面为正方形,故,且.又,所以,又D为的中点,故.
作,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.
又由底面面,得.
连结DG,则,故,由三垂线定理,得.
所以DE为异面直线与CD的公垂线.
(Ⅱ)因为,故为异面直线与的夹角,.
设AB=2,则,,,.
作,H为垂足,因为底面,故,
又作,K为垂足,连结,由三垂线定理,得,因此为
解法二:(Ⅰ)以B为坐标原点,射线BA为轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则A(2,0,0,),,D(0,1,0),,
又设C(1,0,c),则.
于是.
故,
所以DE为异面直线与CD的公垂线.
(Ⅱ)因为等于异面直线与CD的夹角,
故 ,
即 ,
解得 ,故,
又,
所以,
所以 .
由于等于二面角的平面角,
所以二面角的大小为.
20.(全国Ⅰ新卷文18)如图,已知四棱锥的底面为等腰梯形,∥,,垂足为,是四棱锥的高。
(Ⅰ)证明:平面 平面;
(Ⅱ)若,60°,求四棱锥的体积。
解: (1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。
所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H.
所以AC平面PBD.
故平面PAC平面PBD. ……..6分
(2)因为ABCD为等腰梯形,ABCD,ACBD,AB=.
所以HA=HB=.
因为APB=ADR=600
所以PA=PB=,HD=HC=1.
可得PH=.
等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. ……..9分
所以四棱锥的体积为V=x(2+)x= ……..12分
19.(全国Ⅰ新卷理18)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高 ,E为AD中点
证明:PEBC
若APB=ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
解:
以为原点, 分别为轴,线段的长为单位长, 建立空间直角坐标系如图, 则
(Ⅰ)设
则
可得
因为
所以
(Ⅱ)由已知条件可得 设 为平面的法向量
则 即因此可以取,
由,可得
所以直线与平面所成角的正弦值为
18.(全国Ⅰ卷理19文20)如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .
[解析]解法一:
(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G,连接BG,
由此知 即为直角三角形,故.
又,
所以,.
作,
(Ⅱ) 由知
.
故为等腰三角形.
取中点F,连接,则.
连接,则.
所以,是二面角的平面角.
连接AG,AG=,,
,
所以,二面角的大小为120°.
解法二: 以D为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,
由,得
,
故 .
令,则.
17.(辽宁卷文19)如图,棱柱的侧面是菱形,
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)设是上的点,且平面,求的值。
解:(Ⅰ)因为侧面BCC1B1是菱形,所以
又已知
所又平面A1BC1,又平面AB1C ,
所以平面平面A1BC1 .
(Ⅱ)设BC1交B1C于点E,连结DE, 则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线,
因为A1B//平面B1CD,所以A1B//DE.
又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点.即A1D:DC1=1.
[命题意图]本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
16.(辽宁卷理19)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
[点评]纵观近几年的高考试题,立体几何的解答题在很大程度上扮演着直线与平面内容载体的角色,着重考查立体几何中的逻辑推理,多为中档题,通过这些题目考查学生掌握基础知识、逻辑推理能力、计算能力和空间想象能力。而空间向量是解答立体几何问题的
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