(二)主要方法：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；

2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．

(一)主要知识：

1．集合、子集、空集的概念；

2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；

3．若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有，非空子集有个，非空真子集有个．

版权所有：()

版权所有：()

(四)巩固练习：

1．函数的值域为．

2．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则．

(二)(配方法)，

∴的值域为．

改题：求函数，的值域．

解：(利用函数的单调性)函数在上单调增，

∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．

∴函数，的值域为．

(2)求复合函数的值域：设()，则原函数可化为．

又∵，∴，故，

∴的值域为．

(3)(法一)反函数法：的反函数为，其定义域为，

∴原函数的值域为．

(法二)分离变量法：，

∵，∴，

∴函数的值域为．

(4)换元法(代数换元法)：设，则，

∴原函数可化为，∴，

∴原函数值域为．

说明：总结型值域，变形：或

(5)三角换元法：∵，∴设，

则

∵，∴，∴，

∴，

∴原函数的值域为．

(6)数形结合法：，∴，

∴函数值域为．

(7)判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．

由得：　　 ①

①当即时，①即，∴

②当即时，∵时方程恒有实根，

∴，∴且，

∴原函数的值域为．

(8)，

∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．

(9)(法一)方程法：原函数可化为：，

∴(其中)，

∴，∴，∴，∴，

∴原函数的值域为．

(法二)数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．

例2．若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．

解：原方程可化为，

令，则，，又∵在区间上是减函数，

∴，即，

故实数的取值范围为：．

例3．(《高考计划》考点9，智能训练16)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．

已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．

(1)将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；

(2)该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝收入－生产成本－促销费)

解：(1)由题设知：，且时，，∴，即，

∴年生产成本为万元，年收入为．

∴年利润，

∴．

(2)由(1)得

，

当且仅当，即时，有最大值．

∴当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润．

(三)例题分析：

例1．求下列函数的值域：

(1)；　　 (2)；　 (3)；

(4)；　 (5)；　 (6)；

(7)；　 (8)； (9)

解：(1)(一)公式法(略)

(二)主要方法(范例分析以后由学生归纳)：

求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法(反函数法)，换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．

(一)主要知识：

1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．

版权所有：()

版权所有：()

(四)巩固练习：《高考计划》考点10智能训练6．