1．了解空间两条直线的位置关系．

7．点是所在平面外一点，分别是、、的重心，求证：(1)平面平面；(2)求．

证明：(1)如图，分别取的中点，

连结，

∵分别是、、的重心，

∴分别在上，

且．

在中，，故，

又为的边的中点，，

∴，∴平面，同理平面

∴平面平面．

(2)由(1)知，，

∴．

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6．若一直线与一个平面平行，则过平面内的一点且与这条直线平行的直线必在此平面内．

解：如图，设，，．由，

∴它们确定一个平面，设，可证，

在平面内，过点存在，，

∴与重合，即．

5．如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A₂，B₂，C₂，D₂在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

证明：∵ A，B，C，D四点在b内的射影A₂，B₂，C₂，D₂在一条直线上，

∴A，B，C，D四点共面．

又A，B，C，D四点在a内的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四边形的四个顶点，

∴平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁．

∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB₁A₁，平面CDD₁C₁的交线．

∴AB∥CD．

同理AD∥BC．

∴四边形ABCD是平行四边形．

4．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为　　　　 ．(平行四边形)

3．在正四棱柱中，分别为棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件　　　

时，有平面．(点在线段上)

2．是两个不重合平面，是两条不重合直线，那么的一个充分条件是( C )

，，且，　 ，，且

，，且　　　　　 ，，且

1．设线段是夹在两平行平面间的两异面线段，点，，若分别为的中点，则有　　　　 ( 　)

例1．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．

(1)求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；

(2)若E、F分别是AA₁，CC₁的中点，求证：平面EB₁D₁∥平面FBD．

　证明：(1)由B₁B∥DD₁，得四边形BB₁D₁D是平行四边形，

∴B₁D₁∥BD，　　　　　

又BD Ë平面B₁D₁C，B₁D₁平面B₁D₁C，

∴BD∥平面B₁D₁C．

同理A₁D∥平面B₁D₁C．

而A₁D∩BD＝D，

∴平面A₁BD∥平面B₁CD．

(2)由BD∥B₁D₁，得BD∥平面EB₁D₁．

取BB₁中点G，∴AE∥B₁G．

从而得B₁E∥AG，同理GF∥AD．

∴AG∥DF．

∴B₁E∥DF．

∴DF∥平面EB₁D₁．

∴平面EB₁D₁∥平面FBD．

说明　 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．

例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．

求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．

∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．

∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．

∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．

(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACËα．

否则，若ACÌα，

由A∈α，M∈α，得B∈α；

由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，

与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．

又∵MNÌα，∴AC∥α，

又AC Ëα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．

同理可证BD∥平面MNP．

小结：

例3．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点分别在和上，并且，平面，求线段的长．

解：延长交延长线于点，连，可证得∥，由与相似及已知求得。在等腰中，求出，又在中，由余弦定理求得。

∵，∴，∴．

4．空间四边形的两条对角线，，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是　　　　　　　 ．答案：(8，12)