8．曲线y=x³+x-2　在点P₀处的切线平行于直线y=4x-1，则点P₀点的坐标是(　 B　 )

　　 A．(0,1)　　　 B.(1,0)　　　 C.(-1,0)　　　　 D.(1,4)

7．曲线与曲线的公共切线的条数是　　　　　　　　 ( B )

A．1条　　　 B．2条　　 C．3条　　 D．0条

6．某物体的运动方程为，则该物体在时的瞬时速率是( A )

(A)36　 (B)26　 (C)14　　 (D)28

5．函数处的切线方程是　　　　　　　　　 ( D )

　　 A．　　　　　　　　 B．

　　 C．　　　　　　　　 D．

4．某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为( B )

　　 A．－1　　　　　 B．－3　　　　　 C．7　　　　　　 D．13

3．设曲线在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为　　　 ( C )

　　 A．(3，9)　　　 B．(－3，9)　　 C．()　　　 D．()

2．曲线y=x³－x²+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为　　　 ( D )

　(A) 　　　　　　(B) 　　　　 (C)　 　　　(D)

提示：y'=x²－2x.　 当x=1时，y'=－1　　 选(D)

1．一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=5－3t²，则它在[1,+△t]内的平均速度为( C )

(A)3△t+6　　 　(B)－3△t+6　 　(C)3△t－6　 (D)－3△t－6

提示：　 选(C)

例1．求过抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)上一点P(x₀，y₀)处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。

分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b，故切线方程为y－y₀=(2ax₀+b)(x－x₀)

即　y=(2ax₀+b)x－ax+c，亦即y=(2ax₀+b)x－ax+c.

　抛物线焦点：F(,)，它关于切线的对称点之横坐标当x₀，说明从焦点发出的光线射到(x₀，y₀)经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。

　要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值(斜率)，再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。

解：显然，y₀=ax+bx₀+c

　y'=2ax+b　 故在P点处切线斜率为2ax₀+b，

　切线方程y－(ax+bx₀+c)=(2ax₀+b)(x－x₀)，

　亦即y=(2ax₀+b)x－ax+c.

　由于y=ax²+bx+c按向量=平移即得到y=ax²，只须证明过其上一点(x₀，ax)的切线l ：y=2ax₀x－ax 满足：焦点关于l的对称点为(m，n).

　当x₀≠0时，消去n. 知 m=x₀.

　当x₀=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，

　故从焦点发出的光线射到(x₀，ax)后被抛物面反射后的方程为x=x₀(与对称轴平行)；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.

例2．求函数y=x⁴+x－2 图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.

分析：首先由得x⁴+2=0 知，两曲线无交点.

　y'=4x³+1，切线要与已知直线平行，须4x³+1=1，x=0.

　故切点：(0 , －2)

　一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的 距离的最值，以最小值为例(如图)与l平行的 直线若与曲y=f(x)相交，(A为一交点)，则l'与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l'间的距离，亦即A到l的距离.

　当然，我的也可用参数直接考虑：设(x₀，x+x₀－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离，故距离最小距离为

　上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为(0，2)。

解：y'= 4x³+1，令4x³+1=1，x=0. 由此知过曲线上点(0，－2)的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到　　 已知直线距离最近，为.

例3．已知一直线l经过原点且与曲线y＝x³－3x²+2x相切，试求直线l的方程。

分析： 设切点为(x₀，y₀)，则y₀＝x₀³－3x₀²+2x₀，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x₀即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程。在两边同除以x₀时，要注意对x₀是否为0进行讨论。

解：设直线l：y＝kx 。 ∵y'＝3x²－6x+2， ∴y'|_x=0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y＝kx与曲线y＝x³－3x²+2相切于原点时，k＝2。

若直线与曲线切于点(x₀，y₀) (x₀≠0)，则k＝，∵y₀＝x₀³－3x₀²+2x₀，

∴=x₀²－3x₀+2，

又∵k＝y'|＝3x₀²－6x₀+2，

∴x₀²－3x₀+2＝3x₀²－6x₀+2，　∴2x₀²－3x₀＝0，

∵x₀≠0，　∴x₀＝，　∴k＝x₀²－3x₀+2＝－，

故直线l的方程为y＝2x或y＝－x。

例4．已知曲线及其上一点，过作C的切线，与C的另一公共点为(不同于)，过作C的切线，与C的另一公共点为(不同于)，…，得到C的一列切线，，…，，…，相应的切点分别为，，…，，…。

(1)求的坐标；

(2)设到的角为，求之值。

解：(1)设，过作C的切线。

C在处的切线的方程为：，代入，并整理得。

即(舍去)或。

由题意，，从而，(n∈N*)

即；

(2)的斜率。

的斜率。

。

例5．在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s＝27t－0.45t²(单位是米)，这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？

解：当火车运行速度为0时，火车停车。

v＝s'＝(27t－0.45t²)'＝27－0.9t，

令27＝0.9t＝0，得t＝30(秒)，

则s＝27×30－0.45×30²＝405(米)，

故这列火车在刹车后30秒钟才停车，刹车后又运行了405米。

例6．求曲线y＝在横坐标为x₀的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。

分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线方程，从而求出切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值。

解：由导数的定义可得y ^/＝－，则过()点的切线方程为，由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A(x₀，0)，B(0，)。

则|AB|²＝≥，

∴|AB|≥，当且仅当，即x₀＝±时，等号成立。故最短长度为。

例7．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，

直线PC与直线AO交于点M。又知当AP=时，点P的速度

为v，求这时点M的速度。(1984年·全国高考附加题)

分析： 设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导。

解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，

由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈(0，π)。

∵△APM∽△DCM，∴。

∵DM=y- (1-cos)，DC=sin，∴

　∴。

上式两边对时间t进行求导，则 。

∴=

当时，，代入上式得点M的速度。

例8．已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若时，不等式恒成立．

(Ⅰ)求实数的取值范围；

(Ⅱ)求角的取值范围；

　　 (Ⅲ)求实数的取值范围．

解：(1)由知，在R上单调递增，

恒成立，且，即且，，

　 当，即时，，

时，时，，即当时，能使在R上单调递增，．

(2)，由余弦定理：，，

(3)在R上单调递增，且，

所以，

故，即，，即，即．

例9．已知函数在区间单调递增，在区间单调递减.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若点A(x₀,f(x₀))在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；

(Ⅲ)是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

解：(Ⅰ)由函数单调递减，

(Ⅱ)

(Ⅲ)函数

　物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。

利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。