1．(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

(Ⅰ)求这三条曲线的方程；

(Ⅱ)已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

解：(Ⅰ)设抛物线方程为，将代入方程得

………………………………………………(1分)

由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………(2分)

对于椭圆，

………………………………(4分)

对于双曲线，

………………………………(6分)

(Ⅱ)设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为

令………………………………………………(7分)

…………(12分)

12．(14分)(2009·金华模拟)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(－1)n mile的B处

有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n

mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向

逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

解　如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，

若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求

∠BCD.

设缉私船用t h在D处追上走私船，

则有CD=10t，BD=10t.

在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，

∠BAC=120°，

∴由余弦定理，

得BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cos∠BAC

=(-1)²+2²-2×(-1)×2×cos 120°=6，

∴BC=，∵∠CBD=90°+30°=120°，

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠BCD=

=，

∴∠BCD=30°.

即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．

11．(13分)(2009·鲁东南三地四市联合考试)在△ABC中，已知cos A＝.

(1)求sin²－cos(B+C)的值；

(2)若△ABC的面积为4，AB＝2，求BC的长．

解　(1)sin²－cos(B+C)＝+cos A

＝+＝.

(2)在△ABC中，∵cos A＝，∴sin A＝.

由S_△ABC＝4，得bcsin A＝4，得bc＝10.

∵c＝AB＝2，∴b＝5.

∴BC²＝a²＝b²+c²－2bccos A

＝5²+2²－2×5×2×＝17.∴BC＝.

10．(13分)(2009·福州模拟)如图所示，扇形AOB，圆心角

AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P

引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求

△POC面积的最大值及此时θ的值．

解　∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-θ，

∠OCP=120°.

在△POC中，由正弦定理得，

又，∴OC=sin(60°-θ)．

因此△POC的面积为

S(θ)= CP·OCsin 120°

=·sin θ·sin(60°-θ)×

=sin θsin(60°-θ)

=sin θ

=2sin θ·cos θ-sin²θ

=sin 2θ+cos 2θ-

=sin

∴θ=时，S(θ)取得最大值为.

9.(2010·舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．

解析　如图所示，设到C点甲船追上乙船，

乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，

则BC=tv，AC=tv，B=120°，

由正弦定理知，

∴，

∴sin∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，

∴BC=AB=a，

∴AC²=AB²+BC²-2AB·BCcos 120°

=a²+a²-2a²·=3a²，∴AC=a.

答案　北偏东30°　a

8．(2009·北京海淀区4月一模)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则∠A＝________，

AB＝________.

解析　由正弦定理＝，∴sin A＝.

∵BC＝2<AC＝，∴A为锐角．∴∠A＝45°.

∴∠C＝75°.∴＝.∴AB＝+1.

答案　45°　+1

7．(2009·辽源模拟)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.

解析　S_△ABC＝acsin B＝，∴c＝4.

由余弦定理：b²＝a²+c²－2accos B＝13，

∴cos C＝＝－，sin C＝，

∴tan C＝－＝－2.

答案　－2

6．(2010·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 (　　 　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　 B．1 　　　　　　　　　　　　　 　C.　 　　　　　　　　　　　 D．2

解析　如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行

驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问

题就是求DE最小时t的值．

由余弦定理：DE²=BD²+BE²-2BD·BEcos 60°

=(200-80t)²+2 500t²-(200-80t)·50t

=12 900t²-42 000t+40 000.

当t=时，DE最小．

答案　C

5．(2009·汕尾联考)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北

偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行

30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　)

A．20(+)海里/小时

B．20(-)海里/小时

C．20(+)海里/小时

D．20(-)海里/小时

解析　由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，

∴∠MSN=30°，∴.

∴MN==10(-)．

∴货轮航行的速度v＝＝20(－)海里/小时．

答案　B

4．(2009·黄山第一次月考)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°

距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为

(　)

A.海里/小时　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．34海里/小时

C.海里/小时　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．34海里/小时

解析　如图所示，在△PMN中，＝，

∴MN＝＝34，∴v＝＝(海里/小时)．

答案　A