12．(14分)(2009·丽水联考)是否存在角α，β，其中α∈(－，)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π

－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π+β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解　假设满足题设要求的α，β存在，则α，β满足

①²+②²，得sin²α+3(1－sin²α)＝2，

即sin²α＝，sin α＝±.

∵－<α<，∴α＝或α＝－.

(1)当α＝时，由②得cos β＝，

∵0<β<π，∴β＝.

(2)当α＝－时，由②得cos β＝，β＝，但不适合①式，故舍去．

综上可知，存在α＝，β＝使两个等式同时成立．

§4.3　三角函数的图象与性质

11．(13分)(2010·菏泽模拟)已知sin(π－α)－cos(π+α)＝.求下列各式的值：

(1)sin α－cos α；

(2)sin³+cos³.

解　由sin(π－α)－cos(π+α)＝，

得sin α+cos α＝.①

将①式两边平方，得1+2sin α·cos α＝，

故2sin α·cos α＝－，

又<α<π，∴sin α>0，cos α<0.

∴sin α－cos α>0.

(1)(sin α－cos α)²＝1－2sin α·cos α＝1－＝，

∴sin α－cos α＝.

(2)sin³+cos³＝cos³α－sin³α

＝(cos α－sin α)(cos²α+cos α·sin α+sin²α)

＝×＝－.

10．(13分)(2010·揭阳联考)已知sin(3π+θ)＝，求+

的值．

解　∵sin(3π+θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－，

∴原式＝+

＝+

＝+＝

＝＝＝18.

9．(2009·烟台模拟)已知sin α是方程5x²－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则

·tan²(π－α)＝________.

解析　方程5x²－7x－6＝0的两根为x₁＝－，x₂＝2，

由α是第三象限角，∴sin α＝－，cos α＝－，

∴·tan²(π－α)

＝·tan²α

＝·tan²α

＝－tan²α＝－＝－.

答案　－

8．(2010·合肥联考)已知cos(π－α)＝，α∈，则tan α＝________.

解析　cos(π－α)＝－cos α＝，∴cos α＝－.

又α∈，∴sin α<0.

∴sin α＝－＝－.

∴tan α＝＝.

答案　

7．(2009·常德三模)cos的值是________．

解析　cos＝cos ＝cos

＝cos ＝.

答案　

6．(2009·东莞模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　　　　　　　 C．－　 　　　　　　　　　　　　　　 D．－

解析　cos＝cos

＝sin.

又－π<α<－，∴－π<+α<－，

∴sin＝－，

∴cos＝－.

答案　D

5．(2009·湛江三模)已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于　　　　　　　 　　　 (　)

A. 　　　　　　　　　　　　　　　 B．－　 　　　　　　　　　　 C．－7　 　　　　　　　　　　　　　　 D．7

解析　sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－.

又α∈，∴cos α＝.

∴＝.

答案　A

4．(2010·青岛调研)已知函数f(x)＝asin(πx+α)+bcos(πx+β)，且f(2 009)＝3，则f(2 010)的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．－1　 　　　　　　　　　　　　 B．－2 　　　　　　　　　　　 　C．－3　 　　　　　　　　　　　　　 D．1

解析　f(2 009)＝asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β)

＝asin(π+α)+bcos(π+β)

＝－asin α－bcos β＝3.

∴asin α+bcos β＝－3.

∴f(2 010)＝asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β)

＝asin α+bcos β＝－3.

答案　C

3．(2009·重庆文，6)下列关系式中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．sin 11°<cos 10°<sin 168°

B．sin 168°<sin 11°<cos 10°

C．sin 11°<sin 168°<cos 10°

D．sin 168°<cos 10°<sin 11°

解析　sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，

cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.

由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，

即sin 11°<sin 168°<cos 10°.

答案　C