10．(13分)(2009·福州模拟)如图所示，扇形AOB，圆心角

AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P

引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求

△POC面积的最大值及此时θ的值．

解　∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-θ，

∠OCP=120°.

在△POC中，由正弦定理得，

又，∴OC=sin(60°-θ)．

因此△POC的面积为

S(θ)= CP·OCsin 120°

=·sin θ·sin(60°-θ)×

=sin θsin(60°-θ)

=sin θ

=2sin θ·cos θ-sin²θ

=sin 2θ+cos 2θ-

=sin

∴θ=时，S(θ)取得最大值为.

9.(2010·舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．

解析　如图所示，设到C点甲船追上乙船，

乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，

则BC=tv，AC=tv，B=120°，

由正弦定理知，

∴，

∴sin∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，

∴BC=AB=a，

∴AC²=AB²+BC²-2AB·BCcos 120°

=a²+a²-2a²·=3a²，∴AC=a.

答案　北偏东30°　a

8．(2009·北京海淀区4月一模)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则∠A＝________，

AB＝________.

解析　由正弦定理＝，∴sin A＝.

∵BC＝2<AC＝，∴A为锐角．∴∠A＝45°.

∴∠C＝75°.∴＝.∴AB＝+1.

答案　45°　+1

7．(2009·辽源模拟)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.

解析　S_△ABC＝acsin B＝，∴c＝4.

由余弦定理：b²＝a²+c²－2accos B＝13，

∴cos C＝＝－，sin C＝，

∴tan C＝－＝－2.

答案　－2

6．(2010·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 (　　 　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　 B．1 　　　　　　　　　　　　　 　C.　 　　　　　　　　　　　 D．2

解析　如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行

驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问

题就是求DE最小时t的值．

由余弦定理：DE²=BD²+BE²-2BD·BEcos 60°

=(200-80t)²+2 500t²-(200-80t)·50t

=12 900t²-42 000t+40 000.

当t=时，DE最小．

答案　C

5．(2009·汕尾联考)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北

偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行

30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　)

A．20(+)海里/小时

B．20(-)海里/小时

C．20(+)海里/小时

D．20(-)海里/小时

解析　由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，

∴∠MSN=30°，∴.

∴MN==10(-)．

∴货轮航行的速度v＝＝20(－)海里/小时．

答案　B

4．(2009·黄山第一次月考)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°

距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为

(　)

A.海里/小时　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．34海里/小时

C.海里/小时　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．34海里/小时

解析　如图所示，在△PMN中，＝，

∴MN＝＝34，∴v＝＝(海里/小时)．

答案　A

3．(2009·六安期末)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站

C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔

B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　)

A．a km　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a km

C.a km　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2a km

解析　利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB²＝AC²

+BC²－2AC·BCcos 120°＝2a²－2a²×＝3a²，∴AB＝a.

答案　B

2．(2010·池州模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一

条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，

则这艘船的速度是每小时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．5海里　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．5海里

C．10海里　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．10海里

解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，

所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，

在Rt△ABC中，得AB＝5，

于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．

答案　C

1．(2010·佛山模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A. m　 　　　　　　　 B. m 　　　　　　　　 　C. m　　　　　　　　 　 D. m

解析　作出示意图如图，

由已知：在Rt△OAC中，

OA=200，∠OAC=30°，

则OC=OA·tan∠OAC

=200tan 30°=.

在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，

则BD=AD·tan∠BAD=·tan 30°=，

∴BC=CD-BD=200-=.

答案　A