4．(2010·广州模拟)设f(x)则,dx等于　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　 B．　 　　　　　　　 C．　 　　　　　　　 D．不存在,

解析　本题应画图求解，更为清晰，如图，

答案　C

3．(2010·洛阳质检)若ʃ(2x－3x²)dx＝0，则k等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1

C．0或1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．以上均不对

解析　ʃ(2x－3x²)dx＝ʃ2xdx－ʃ3x²dx

＝x²|－x³|＝k²－k³＝0，∴k＝0或k＝1.

答案　C

2．(2009·潍坊模拟)若函数f(a)＝ʃ(2+sin x)dx，则f等于　　　　　　　　　　　　 (　)

A．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0

C．2π+3+cos 1　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．1－cos 1

解析　∵f(a)＝ʃ(2+sin x)dx

＝(2x－cos x)|＝2a－cos a+1，

∴f＝π+1，

∴f＝f(π+1)＝2(π+1)－cos(π+1)+1

＝2π+cos 1+3.

答案　C

1．(2010·德州阶段检测)ʃ－(sin x+cos x)dx的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．0　 　　　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　　　　 C．2　 　　　　　　　　 D．4

解析　(sin x+cos x)dx

＝sin xdx+cos xdx

＝(－cos x)||+sin x|

＝－cos +cos+sin －sin

＝1－(－1)＝2.

答案　C

12．(14分)(2009·四川文，20)已知函数f(x)＝x³+2bx²+cx－2的图象在与x轴交点处的切线

方程是y＝5x－10.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)＝f(x)+mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极

值时对应的自变量x的值．

解　(1)由已知，得切点为(2,0)，故有f(2)＝0，

即4b+c+3＝0，①

f′(x)＝3x²+4bx+c，由已知，得f′(2)＝12+8b+c＝5.

即8b+c+7＝0.②

联立①、②，解得b＝－1，c＝1，

于是函数解析式为f(x)＝x³－2x²+x－2.

(2)g(x)＝f(x)+mx＝x³－2x²+x－2+mx，

g′(x)＝3x²－4x+1+，令g′(x)＝0.

当函数有极值时，Δ≥0，方程3x²－4x+1+＝0有实根，

由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.

①当m＝1时，g′(x)＝0有实根x＝，在x＝左右两侧均有g′(x)>0，故函数g(x)无极值．

②当m<1时，g′(x)＝0有两个实根，

x₁＝(2－)，x₂＝(2+)，

当x变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：

故在m∈(－∞，1)时，函数g(x)有极值：

当x＝(2－)时，g(x)有极大值；

当x＝(2+)时，g(x)有极小值．

§3.3　定积分

11．(13分)(2010·南阳一模)已知a是实数，函数f(x)＝x²(x－a)，

(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

解　(1)f′(x)＝3x²－2ax，因为f′(1)＝3－2a＝3，

所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为

3x－y－2＝0.

(2)令f′(x)＝0，解得x₁＝0，x₂＝，

当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，

从而f(x)_max＝f(2)＝8－4a；

当≥2时，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，

从而f(x)_max＝f(0)＝0；

当0<<2，即0<a<3，f(x)在上单调递减，在上单调递增．

从而f(x)_max＝

综上所述，f(x)_max＝

10．(13分)(2010·开封调研)已知向量a＝(x²，x+1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－

1,1)上是增函数，求t的取值范围．

解　f(x)＝a·b＝x²(1－x)+t(x+1)

＝－x³+x²+tx+t，

∴f′(x)＝－3x²+2x+t.

∵f(x)在(－1,1)上是增函数，

∴－3x²+2x+t≥0在x∈(－1,1)上恒成立．

∴t≥3x²－2x，令g(x)＝3x²－2x，x∈(－1,1)．

∴g(x)∈，∴t≥5.

9．(2009·合肥调研)函数f(x)＝x³+3ax²+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．

解析　∵f(x)＝x³+3ax²+3[(a+2)x+1]，

∴f′(x)＝3x²+6ax+3(a+2)．

令3x²+6ax+3(a+2)＝0，即x²+2ax+a+2＝0.

∵函数f(x)有极大值和极小值，

∴方程x²+2ax+a+2＝0有两个不相等的实根．

即Δ＝4a²－4a－8>0，∴a>2或a<－1.

答案　a>2或a<－1

8．(2009·湖州一模)已知函数f(x)＝－x³+ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围

是________．

解析　由题意应有f′(x)＝－3x²+a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x²，x∈(－1,1)

恒成立，故a≥3.

答案　a≥3

7．(2009·江苏，3)函数f(x)＝x³－15x²－33x+6的单调减区间为________．

解析　∵f′(x)＝3x²－30x－33＝3(x－11)(x+1)，令f′(x)<0得－1<x<11，∴函数f(x)＝x³

－15x²－33x+6的单调减区间为(－1,11)．

答案　(－1,11)