12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f(x)＝3^x，f(a+2)＝18，g(x)＝λ·3^ax－4^x的定义域为[0,1]．

(1)求a的值；

(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

解　方法一　(1)由已知得3^a+2＝18⇒3^a＝2⇒a＝log₃2.

(2)由(1)得g(x)＝λ·2^x－4^x，设0≤x₁<x₂≤1，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

所以g(x₁)－g(x₂)＝(2x₁－2x₂)(λ－2x₂－2x₁)>0恒成立，即λ<2x₂+2x₁恒成立．

由于2x₂+2x₁>2⁰+2⁰＝2，

所以，实数λ的取值范围是λ≤2.

方法二　(1)由已知得3^a+2＝18⇒3^a＝2⇒a＝log₃2.

(2)由(1)得g(x)＝λ·2^x－4^x，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

所以有g′(x)＝λln 2·2^x－ln 4·4^x

＝ln 2[－2·(2^x)²+λ·2^x]≤0成立．

设2^x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u²+λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.

§2.6　一次函数、二次函数与幂函数

11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y＝lg(3－4x+x²)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2^x+2

－3×4^x的最值及相应的x的值．

解　y＝lg(3－4x+x²)，∴3－4x+x²>0，

解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}，

f(x)＝2^x+2－3×4^x＝4×2^x－3×(2^x)².

令2^x＝t，∵x<1或x>3，

∴t>8或0<t<2.

∴f(t)＝4t－3t²＝－3²+(t>8或0<t<2)．

由二次函数性质可知：

当0<t<2时，f(t)∈，

当t>8时，f(x)∈(－∞，－160)，

当2^x＝t＝，即x＝log₂时，f(x)_max＝.

综上可知：当x＝log₂时，f(x)取到最大值为，无最小值．

10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log₈9，log₇9，log3，log²9，

³，^π.

解　log²9＝(－log₂9)²＝log9，

在同一坐标系内作出y＝log₈x，y＝log₇x，y＝log₂x的图象如图所示，当x＝9时，由图象知log₂9>log₇9>log₈9>1＝log₈8，∴log9>log₇9>log₈9>1，

即.

∵在R上是减函数，

∴1>> >0.

又log3<0，

综上：.

9．(2009·台州第一学期期末)已知0<a<b<1<c，m＝log_ac，n＝log_bc，则m与n的大小关系是

________．

解析　∵m<0，n<0，＝log_ac·log_cb＝log_ab<log_aa＝1，∴m>n.

答案　m>n

8．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)³]+log₅25＝________.

解析　原式＝(－4)¹+log₅5²＝－4+2＝－2.

答案　－2

7．(2009·江苏，11)已知集合A＝{x|log₂x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范

围是(c，+∞)，其中c＝__________________________.

解析　∵log₂x≤2，∴0<x≤4.又∵A⊆B，∴a>4，

∴c＝4.

答案　4

6．(2010·绍兴模拟)函数y＝log_a|x+b| (a>0，a≠1，ab＝1)的图象只可能是　　　 (　)

解析　由a>0，ab =1可知b>0，

又y=log_a|x+b|的图象关于x=-b对称，

由图象可知b>1，且0<a<1，由单调性可知，B正确．

答案　B

5．(2010·烟台一模)函数y＝f(x)的图象如下图所示，

则函数y＝logf(x)的图象大致是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x<y<a<1，m＝log_ax+log_ay，则有　　　　　　　　　　 (　)

A．m<0　 B．0<m<1

C．1<m<2　 D．m>2

解析　m＝log_axy，∵0<x<y<a<1，∴0<xy<a²<1.

∴m>log_aa²＝2.

答案　D

3．(2009·辽宁文，6)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝^x；当x<4时，f(x)＝f(x+1)．则

f(2+log₂3)＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　 　C. 　　　　　　　　　　 　D.

解析　因为2+log₂3<4，故f(2+log₂3)＝f(2+log₂3+1)＝f(3+log₂3)．又3+log₂3>4，

故f(3+log₂3)＝3+log₂3＝³·＝.

答案　A