6．(2009·潍坊模拟)下列命题中真命题的个数为__________．

①p：∀x∈R，x²－x+≥0；

②q：所有的正方形都是矩形；

③r：∃x∈R，x²+2x+2≤0；

④s：至少有一个实数x，使x²+1＝0.

解析　x²－x+＝(x－)²≥0，故①是真命题；x²+2x+2＝(x+1)²+1>0，故③是假命题；

易知②是真命题，④是假命题．

答案　2

5．(2009·济宁模拟)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x²+x+1>0.

给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”

是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是_______________________．

解析　因p为假命题，q为真命题，故綈p是真命题，綈q是假命题；所以p∧q是假命题，

p∧綈q是假命题，綈p∨q是真命题．

答案　②③

4．(2010·石家庄模拟)已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．

命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.

下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈p；④綈p∧q.

真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

解析　∵命题p是假命题，命题q是真命题．

∴綈p是真命题，綈q是假命题，

∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，

綈p∧q是真命题．

答案　①④

3．(2009·苏南四市模拟)命题“∃x∈R，x≤1或x²>4”的否定是__________________．

解析　已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题．

答案　∀x∈R，x>1且x²≤4

2．(2010·镇江模拟)“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是

__　　　　　　　　　　　　　　　 __________________．

答案　△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角

1．(2009·天津改编)命题“存在x₀∈R,2x₀≤0”的否定是________________________．

解析　命题的否定是“对任意的x∈R,2^x>0”．

答案　对任意的x∈R,2^x>0

12．(16分)(2009·江苏省徐州六县一区联考)已知m∈R，设p：不等式|m²－5m－3|≥3；q：函

数f(x)＝x³+mx²+(m+)x+6在(－∞，+∞)上有极值．求使p且q为真命题的m的取值

范围．

解　由已知不等式得

m²－5m－3≤－3①

或m²－5m－3≥3②

不等式①的解为0≤m≤5；

不等式②的解为m≤－1或m≥6.

所以，当m≤－1或0≤m≤5或m≥6时，p为真命题．

对函数f(x)＝x³+mx²+(m+)x+6求导得，

f′(x)＝3x²+2mx+m+，

令f′(x)＝0，即3x²+2mx+m+＝0，

当且仅当Δ>0时，函数f(x)在(－∞，+∞)上有极值．

由Δ＝4m²－12m－16>0得m<－1或m>4，

所以，当m<－1或m>4时，q为真命题．

综上所述，使p且q为真命题时，实数m的取值范围为

(－∞，－1)∪(4,5]∪[6，+∞)．

§1.3　 单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

11．(16分)(2009·江苏省华罗庚中学第一次教学质量检测)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log_a(x

+1)在(0，+∞)上单调递减；q：曲线y＝x²+(2a－3)x+1与x轴交于不同的两点．如果p

且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．

解　若p为真，则0<a<1.若q为真，

则Δ>0即(2a－3)²－4>0解得a<或a>.

∵p且q为假，p或q为真，

∴p与q中有且只有一个为真命题．(a>0且a≠1)

(1)⇒⇒≤a<1

(2)⇒⇒a>

综上所述，a的取值范围为[，1)∪(，+∞)．

10．(14分)(2010·镇江模拟)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．

(1)当c<0时，若ac>bc，则a<b；

(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.

解　(1)逆命题　当c<0时，若a<b，则ac>bc真命题

否命题　当c<0时，若ac≤bc，则a≥b真命题

逆否命题　当c<0时，若a≥b，则ac≤bc真命题．

(2)逆命题　若a＝0或b＝0，则ab＝0真命题

否命题　若ab≠0，则a≠0且b≠0真命题

逆否命题　若a≠0且b≠0，则ab≠0真命题．

9．(2010·山东聊城模拟)设f(x)＝x³+log₃(x+)，则对任意实数a、b，“a+b≥0”是“f(a)

+f(b)≥0”的__________条件．

解析　显然f(x)＝x³+log₃(x+)为奇函数，且单调递增．于是若a+b≥0，则a≥－b，

有f(a)≥f(－b)，

即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)+f(b)≥0.

反之，若f(a)+f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b)，

则a≥－b，即a+b≥0.故为充要条件．

答案　充要