8．二项式(1－xi)ⁿ(x∈R，i为虚数单位)的展开式中含x²项的系数等于－28，则n＝________.

解析：由已知得

T_r+1＝C_n^r·1^n－r·(－xi)^r＝C_n^r·(－1)^r·i^r·x^r，

根据题意可知r＝2，∴(－1)²·i²·C_n²＝－28，

∴C_n²＝28，∴n＝8.

答案：8

7．(x－y)⁴的展开式中x³y³的系数为________．

解析：(x－y)⁴的展开式的通项为

令得r＝2.

故展开式中x³y³的系数为(－1)²C₄²＝6.

答案：6

6．若(1－2x)²⁰⁰⁹＝a₀+a₁x+…+a₂₀₀₉x²⁰⁰⁹(x∈R)，则++…+的值为(　)

A．2 　　　　　　　　　B．0

C．－1　 　　　　　　　　D．－2

解析：选C.(1－2x)²⁰⁰⁹＝a₀+a₁x+…+a₂₀₀₉x²⁰⁰⁹，令x＝，则(1－2×)²⁰⁰⁹＝a₀+++…+＝0，其中a₀＝1，所以++…+＝－1.

5．若C_n¹x+C_n²x²+…+…+C_nⁿxⁿ能被7整除，则x，n的值可能为(　)

A．x＝4，n＝3　　　　 　B．x＝4，n＝4

C．x＝5，n＝4　 　　　　　D．x＝6，n＝5

解析：选C.由C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ＝(1+x)ⁿ－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅有C适合．

4．若对于任意的实数x，有x³＝a₀+a₁(x－2)+a₂(x－2)²+a₃(x－2)³，则a₂的值为(　)

A．3　 　　　　　　　　　　B．6

C．9　 　　　　　　　　　　D．12

解析：选B.设x－2＝t，则x＝t+2，

原式化为(2+t)³＝a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³，

∴a₂＝C₃²·2＝6，故选B.

3．若(x－)ⁿ的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是(　)

A．3　 　　　　　　　　　　　B．4

C．10　 　　　　　　　　　　D．12

解析：选B.T_r+1＝C_n^r()^n－r()^rxn－r，令n－r＝0，n＝r，当r＝3时，正整数n的最小值是4.

2．设f(x)＝(2x+1)⁵－5(2x+1)⁴+10(2x+1)³－10(2x+1)²+5(2x+1)－1，则f(x)＝(　)

A．(2x+2)⁵ 　B．2x⁵

C．(2x－1)⁵ 　　　　　　　　D．(2x)⁵

解析：选D.由f(x)的特点知f(x)恰为[(2x+1)－1]⁵的展开式，∴f(x)＝(2x)⁵.

1．已知(+)ⁿ的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于(　)

A．4 　　　　　　　　　　　　B．5

C．6 　　　　　　　　　　　　D．7

解析：选C.令x＝1，各项系数和为4ⁿ，二项式系数和为2ⁿ，故有＝64，∴n＝6.

6．已知(+ )ⁿ的展开式中，前三项系数成等差数列．

(1)求n；

(2)求第三项的二项式系数及项的系数；

(3)求含x项的系数．

解：(1)前三项系数为1，C_n¹，C_n²成等差数列．

∴2·C_n¹＝1+C_n²，即n²－9n+8＝0.

∴n＝8或n＝1(舍)．

(2)由n＝8知其通项公式T_r+1＝C₈^r·()^8－r·( )^r＝()^r·C₈^r·x4－r，r＝0,1，…，8.

∴第三项的二项式系数为C₈²＝28.

第三项系数为()²·C₈²＝7.

(3)令4－r＝1，得r＝4，

∴含x项的系数为()⁴·C₈⁴＝.

练习

5.(2009年高考广东卷)(x－y)¹⁰的展开式中，x⁷y³的系数与x³y⁷的系数之和等于________．

解析：(x－y)¹⁰的展开式中含x⁷y³的项为C₁₀³x^10－3y³(－1)³＝－C₁₀³x⁷y³，含x³y⁷的项为C₁₀⁷x^10－7y⁷(－1)⁷＝－C₁₀⁷x³y⁷.

由C₁₀³＝C₁₀⁷＝120知，x⁷y³与x³y⁷的系数之和为－240.

答案：－240