155. 已知空间四边形ABCD的边长都是1，又BD=，当三棱锥A-BCD的体积最大时，求二面角B-AC-D的余弦值．

解析：如图，取AC中点E，BD中点F，由题设条件知道

(1)BED即二面角B-AC-D的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

(2)当AF面BCD时，V_A-BCD达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

这时ED²=AD²-AE²=1-AE²=1-=1-

=1-，

又 BE²=ED²，

∴ cos．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

　　 　　　　　　　　　　 　　　 A　　　　　　

　　 　　　　　　　E

B　　 　　　　 F　　　 　　　　D　　　

　　 　　　　　　　　C

153. 已知矩形ABCD的边AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1，问

　 BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由.

解析：连接AQ，因PA⊥平面ABCD，所以PQ⊥QDAQ⊥QD，即以AD为直经的圆与BC有交点．

当AD=BC=aAB=1,即a1时，在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；．．．．．．．．．5分

当0<a<1时，在BC边上不存在点Q，使得PQ⊥QD．．．

　 154. 如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长的3，侧棱AA₁=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

　 (Ⅰ)求证：直线BC₁//平面AB₁D；

　 (Ⅱ)求二面角B₁-AD-B的大小；

　 (Ⅲ)求三棱锥C₁-ABB₁的体积.

(Ⅰ)证明：CD//C₁B₁，又BD=BC=B₁C₁， ∴ 四边形BDB₁C₁是平行四边形， ∴BC₁//DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，∴直线BC₁//平面AB₁D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

(Ⅱ)解：过B作BE⊥AD于E，连结EB₁， ∵B₁B⊥平面ABD，∴B₁E⊥AD ，

∴∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角，　 ∵BD=BC=AB， ∴E是AD的中点，

在Rt△B₁BE中，∴∠B₁EB=60°。即二面角B₁-AD-B的大小为60°…………10分

(Ⅲ)解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B₁B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C，且AF=

　即三棱锥C₁-ABB₁的体积为…………15分

　 解法二：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

　　　　 即为三棱锥C₁-ABB₁的体积．

152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________．

解析：如图中，截面ACD₁和截面ACB₁均符合题意要求，这样的截面共有8个；

180. 如图：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体.求证：(1)A₁C⊥D₁B₁；(2)A₁C⊥BC₁

解析：(1)连A₁C₁，则A₁C₁⊥B₁D₁，

又CC₁⊥面A₁C₁，由三垂线定理可知A₁C⊥B₁D₁，(2)连B₁C，

仿(1)可证；

179. 如图：在斜边为AB的R_t△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求证：PB⊥平面AEF.

解析：

(1)PA⊥面ACB，∴PA⊥BC，BC⊥AC，∴BC⊥面PAC．(2)(1)知BC⊥AF，

又AF⊥PC，∴AF⊥面PBC，∴AF⊥PB，又PB⊥AE，∴PB⊥面AEF.

177. 如图：在△ABC中，∠ACB＝90⁰，M是AB的中点，PM⊥平面ABC，

求证：PA＝PB＝PC.

解析：连结MC，由∠ACB＝，M为AB的中点，MB＝MC＝MA，

∴PM⊥面ABC，∴∠PMA＝∠PMB＝∠PMC＝，又PM公用，∴△PMA≌△PMB≌△PMC，∴PA＝PB＝PC；178. 四边形ABCD是距形，AB＝2，BC＝1，PC⊥平面AC，PC＝2，求点P到BD的距离.

解析：作CE⊥BD于E，连结PE，

176. 已知(如图)：平面α∥平面β, A、C∈α,B、D∈β,AB与CD是异面直线,E、F分别是线段AB、CD的中点,求证：EF∥β.

解析：如图作辅助线，可得中线平行。

175. 棱长为1的的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,求证：平面A₁BD∥平面CB₁D₁.

解析：过a和直线b上任意一点P作一平面γ和平面β交于，∵α∥β，∴a∥，∵，，，∴，∵，，b∥β，

∴α∥β；8．∵A₁B∥D₁C，∴A₁B∥平面CD₁B₁，同理BD∥平面CD₁B₁，

∵A₁B面A₁BD，BD面A₁BD，∴面A₁BD∥面CD₁B_1­­.

173. 如果把两条异面直线称作“一对”，则在正方体十二条棱中，共有异面直线(　 )对

A．12　　　　 B．24　　　　 C．36　　　　　 D．48

解析：B

如图，棱有4条与之异面，所有所有棱能组成412=48对，但每一对都重复计算一次，所以有48对=24对。174. 已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交于AB，M、N分别是对角线AC、BF上的点,且AM=FN,求证：MN∥平面BCE.

解析：作NP∥AB交BE于点P，作MQ∥AB交BC于点Q，

证MNPQ是平行四边形，再证MN∥面BCE.

172. 如图：已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P，求证：点B、D、P在同一条直线上。

解析：∵直线EF∩直线,HG＝P，∴P∈直线EF，又EF平面ABD，

∴P∈平面ABD，同理P∈平面CBD，由公理2，点B、D、P

在同一条直线上。