146. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABC=90⁰，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。(答案：arctg)

145. 如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，点A₁在底面的射影O在AB上，已知侧棱A₁A与底面ABCD成45⁰角，A₁A=a。求二面角A₁-AC-B的平面角的正切值。(答案：)

144. 如图，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB=2，CD=4，P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是边长为10的正三角形，求平面PAD与面PBC所成的角.

解法一：如图，延长DA、CB交于E，＝＝，∴AB是△ECD的中位线，CB＝BE＝10.又△PCB为正△，易证△PCE为直角三角形，PE⊥PC.又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交线DA，∴CD⊥平面PDE.PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD是D-PE-C的平面角.在Rt△CDP中，sin∠DPC＝＝，故二面角大小为arcsin.

解法二：利用Scosθ＝S′.如右图，

平面PAD⊥平面ABCD

CD⊥AD，BA⊥AD

BA⊥平面PAD

CD⊥平面PAD

△PAD是△PBC在平面PDA内的射影.设面PDA与面PCB所成的二面角为θ，则S_△PDA＝S_△PCB·cosθ.Rt△PAB中，PA＝4＝AD；Rt△PDC中，PD＝2.

∴△PAD为等腰三角形且S_△PAD＝PD·AH＝15.

cosθ＝＝＝，

θ＝arccos＝.

143. 如图，在平面角为60⁰的二面角-l-内有一点P，P到、分别为PC=2cm,PD=3cm,则垂足的连线CD等于多少？(2)P到棱l的距离为多少？

解析：对于本题若这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明CED为二面角的平面角时会有一个很麻烦的问题，需要证明P、D、E、C四点共面。这儿，可以通过作垂面的方法来作二面角的平面角。

解：∵PC、PD是两条相交直线，

∴PC、PD确定一个平面，设交棱l于E，连CE、DE。

∵PC⊥，　　 ∴PC⊥l,

又∵PD⊥，∴PD⊥l。

∴l⊥平面，则l⊥CE、DE，故CED即为二面角的平面角，即CED=60⁰。

∴CPD=120⁰，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四点共圆，且PE为直径，由正弦定理得PE=2R===cm。

说明：三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重视。

142. 如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，E是CC₁的中点，求二面角B-B₁E-D的余弦值。

解析：图中二面角的二个半平面分别为△DEB₁所在的半平面和△BEB₁所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B₁E。不难找到DC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。

解： 由题意可得直线DC平面BEB₁，且垂足为C，过C作CFB₁E于F(如图，F在B₁E的延长线上)，连DF，则由三垂线定理可得DFC即二面角的平面角。

△B₁C₁E~△CFE，∴CF=；DF=

∴cosDFC=。

即二面角的平面角的余弦值为。

141. 已知菱形ABCD边长为a，且其一条对角线BD＝a，沿对角线BD将折起所在平面成直二面角，点E、F分别是BC、CD的中点。

　　 (1)求AC与平面AEF所成的角的余弦值

　　 (2)求二面角A－EF－B的正切值。

　　 (1) 解析：：菱形ABCD的对角线，

，中位线EF//BD，可知面AOC，，故面，这样AC在面AEF内的射影就是AG，就是AC与平面AEF的成角，解三角形AOC可得。

　　 (2)分析：由前一小问的分析可知，

就是二面角A－EF－B的平面角，在中，，，。

160. 把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角B-AC-D，E、F分别为AD、BC的中点，O为正方形的中心，求折起后∠EOF的大小

证明：过F作FM⊥AC于M，过E作EN⊥AC于N，则M，N分别为OC、AO的中点

解析：

158. 设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。

　 如图求直线PB和平面PAC所成角的大小

　 159. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知P，Q，R，S分别为棱A₁D₁，A₁B₁，AB，BB₁的中点，求证：平面PQS⊥平面B₁RC.(12分)

证明：连结BC₁交B₁C于O，则O为BC₁的中点

连结RO，AC₁，∵R是AB的中点　 ∴RO∥AC₁

∵P,Q分别为A₁D₁，A₁B₁的中点，易知A₁C₁⊥PQ

∴AC₁⊥PQ(三垂线定理)

157.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

　 　　 (Ⅰ)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

　　 (Ⅱ)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

证明：(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，

　　　 ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.………………………………3分

　　　 又

　　　 ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

　　　 ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.………………8分

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴

由AB²=AE·AC 得

故当时，平面BEF⊥平面ACD.………………………………………………12分

156. 有一矩形纸片ABCD，AB=5，BC=2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角．

(1)求BD的距离；

(2)求证AC，BD交于一点且被这点平分．

解析：将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A₁BCD₁，则BD恰好是长方体的一条对角线．

(1)解：因为AE，EF，EB两两垂直，

所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，

．．．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)证明：因为AD EF，EF BC，所以AD BC．

所以ACBD在同一平面内，

且四边形ABCD为平行四边形．

所以AC、BD交于一点且被这点平分