1．当0<a<1时，函数①y＝a^|x|与函数②y＝log_a|x|在区间(－∞，0)上的单调性为(　)

A．都是增函数

B．都是减函数

C．①是增函数，②是减函数

D．①是减函数，②是增函数

解析：选A.①②均为偶函数，且0<a<1，x>0时，y＝a^|x|为减函数，y＝log_a|x|为减函数，当x<0时，①②均是增函数．

6．若函数g(x)＝log₃(ax²+2x－1)有最大值1，求实数a的值．

　　 解：令h(x)＝ax²+2x－1，由于函数g(x)＝log₃h(x)是递增函数，所以要使函数g(x)＝log₃(ax²+2x－1)有最大值1，应使h(x)＝ax²+2x－1有最大值3，因此有，解得a＝－，此即为实数a的值．

练习

5.已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．

解析：当x≤0时，3^x+1＞1⇒x+1＞0，∴－1＜x≤0；

当x＞0时，log₂x＞1⇒x＞2，∴x＞2，

综上所述：－1＜x≤0或x＞2.

答案：－1＜x≤0或x＞2

4．函数f(x)＝log(2+2x－x²)的值域为________．

解析：2+2x－x²＝－(x－1)²+3≤3，

∴log(2+2x－x²)≥log3＝－1.故值域为[－1，+∞)．

答案：[－1，+∞)

3．(原创题)若函数f(x)＝log_a(2x²+x)(a＞0，a≠1)在区间(，1)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是(　)

A．(－∞，－)　 　　　　　　　B．(－，+∞)

C．(－∞，－) 　　　　　　　D．(0，+∞)

解析：选D.因2x²+x在(，1)上恒大于1，

∴a＞1，因f(x)的定义域为(0，+∞)∪(－∞，－)，函数y＝2x²+x的单调递增区间为[－，+∞)，因此f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，选D.

2．(2010年山东省潍坊市模拟)已知函数y＝f(x)与y＝e^x互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(　)

A．－e 　　　　　　　　　　　B．－

C.　 　　　　　　　　　　　　D．e

解析：选C.据题意可得f(x)＝lnx，由于f(x)＝lnx和y＝g(x)的图象关于x轴对称，故由g(a)＝1⇒lna＝－1⇒a＝，故选C.

1．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝lge，b＝(lge)²，c＝lg，则(　)

A．a＞b＞c　　　　　B．a＞c＞b

C．c＞a＞b　 　　　　　　　　D．c＞b＞a

解析：选B.∵0＜lge＜1，∴lge＞lge＞(lge)².

∴a＞c＞b.

12．已知函数f(x)＝ax²+2x+c(a、c∈N^*)满足：①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.

(1)求a、c的值；

(2)若对任意的实数x∈[，]，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数m的取值范围．

解：(1)∵f(1)＝a+2+c＝5，

∴c＝3－a.①

又∵6＜f(2)＜11，即6＜4a+c+4＜11，②

将①式代入②式，得－＜a＜，

又∵a、c∈N^*，∴a＝1，c＝2.

(2)由(1)知f(x)＝x²+2x+2.

法一：设g(x)＝f(x)－2mx＝x²+2(1－m)x+2.

①当－≤1，即m≤2时，

g(x)_max＝g()＝－3m，

故只需－3m≤1，

解得m≥，又∵m≤2，故无解．

②当－＞1，即m＞2时，

g(x)_max＝g()＝－m，

故只需－m≤1，

解得m≥.

又∵m＞2，∴m≥.

综上可知，m的取值范围是m≥.

法二：∵x∈[，]，

∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立⇔2(1－m)≤－(x+)在[，]上恒成立．

易知[－(x+)]_min＝－，

故只需2(1－m)≤－即可．

解得m≥.

11．已知函数f(x)＝x²－4ax+2a+6(a∈R)．

(1)若函数的值域为[0，+∞)，求a的值；

(2)若函数值为非负数，求函数f(a)＝2－a|a+3|的值域．

解：(1)∵函数的值域为[0，+∞)，

∴Δ＝16a²－4(2a+6)＝0

⇒2a²－a－3＝0⇒a＝－1或a＝.

(2)∵对一切x∈R函数值均为非负数，

∴Δ＝8(2a²－a－3)≤0⇒－1≤a≤，

∴a+3>0，

∵f(a)＝2－a|a+3|＝－a²－3a+2

＝－²+，

∴二次函数f(a)在上单调递减．

∴f≤f(a)≤f(－1)，即－≤f(a)≤4，

∴f(a)的值域为.

10．求下列二次函数的解析式：

(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)；

(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x+1)－f(x)＝2x.

解：(1)法一：(一般式)设f(x)＝ax²+bx+c(a≠0)．

由题意，得解得

所以y＝3x²－12x+11.

法二：(顶点式)设y＝a(x－2)²－1.

将(0,11)代入可得：11＝4a－1，于是a＝3，

所以y＝3(x－2)²－1＝3x²－12x+11.

(2)设二次函数f(x)＝ax²+bx+c(a≠0)，

由f(0)＝1，可知c＝1.

而f(x+1)－f(x)＝[a(x+1)²+b(x+1)+c]－(ax²+bx+c)＝2ax+a+b，

由f(x+1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a+b＝0.

因而a＝1，b＝－1，

所以f(x)＝x²－x+1.