3．下列求导数运算正确的是(　)

A．(x+)′＝1+　 　　　　B．(log₂x)′＝

C．(3^x)′＝3^xlog₃e　 　　　　　D．(x²cosx)′＝－2xsinx

解析：选B.(x+)′＝1－，A错；

(3^x)′＝3^xln3，C错；

(x²cosx)′=2xcosx-x²sinx，D错；

故选B.

2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t³－t²+2t，那么速度为零的时刻是(　)

A．0秒　 　　　　　　　　　B．1秒末

C．2秒末　 　　　　　　　　D．1秒末和2秒末

解析：选D.∵s＝t³－t²+2t，

∴v＝s′(t)＝t²－3t+2，

令v＝0得，t²－3t+2＝0，解得t₁＝1，t₂＝2.

1．已知函数f(x)＝sinx+lnx，则f′(1)的值为(　)

A．1－cos1 　　　　　　　　B．1+cos1

C．cos1－1　 　　　　　　　　D．－1－cos1

解析：选B.因为f′(x)＝cosx+，则f′(1)＝cos1+1.

6．若曲线y＝x³－2ax²+2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a的值．

解：∵曲线y＝x³－2ax²+2ax，

∴该曲线上任意点处切线的斜率k＝y′＝3x²－4ax+2a.

又∵切线的倾斜角都是锐角，

∴k>0恒成立，即3x²－4ax+2a>0恒成立．

∴Δ＝(－4a)²－4×3×2a＝16a²－24a<0，

∴0<a<.

又∵a∈Z，∴a＝1.

练习

5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x+8，则f(5)+f′(5)＝________.

解析：易得切点P(5,3)，

∴f(5)＝3，k＝－1，

即f′(5)＝－1.

∴f(5)+f′(5)＝3－1＝2.

答案：2

4．(2009年高考福建卷)若曲线f(x)＝ax²+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝2ax+，x∈(0，+∞)．

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，

∴f′(x)＝0有解，即2ax+＝0在(0，+∞)有解，

∴a＝－，∴a∈(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

3．已知m<0，f(x)＝mx³+，且f′(1)≥－18，则实数m等于(　)

A．－9　 　　　　　　　　　　B．－3

C．3 　　　　　　　　　　　D．9

解析：选B.由于f′(x)＝3mx²+，故f′(1)≥－18 3m+≥－18，由m<0得3m+≥－183m²+18m+27≤03(m+3)²≤0，故m＝－3.

2．设y＝－2e^xsinx，则y′等于(　)

A．－2e^xcosx　 　　　　　　　B．－2e^xsinx

C．2e^xsinx　 　　　　　　　　D．－2e^x(sinx+cosx)

解析：选D.∵y＝－2e^xsinx，

∴y′＝(－2e^x)′sinx+(－2e^x)·(sinx)′

＝－2e^xsinx－2e^xcosx

＝－2e^x(sinx+cosx)．

1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率为k₁，k₂，则k₁，k₂的大小关系为(　)

A．k₁>k₂ 　　　　　　　　　B．k₁<k₂

C．k₁＝k₂ 　　　　　　　　　D．不确定

解析：选A.∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，

k₁＝cos0＝1，k₂＝cos＝0，∴k₁>k₂.

4．已知{a_n}是公比为常数q的等比数列，若a₄，a₅+a₇，a₆成等差数列，则q等于________．

解析：由题知a₄+a₆＝2(a₅+a₇)

＝2(a₄q+a₆q)＝2q(a₄+a₆)，

由a₄+a₆≠0得q＝.