5．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值为________．

解析：直线l的斜率k＝＝－(a≠0)，

∴－·(－)＝－1，∴a＝－.

答案：－

4．(2008年高考广东卷)经过圆x²+2x+y²＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是________．

解析：圆x²+2x+y²＝0可化为(x+1)²+y²＝1，

∴C(－1,0)．∵直线x+y＝0的斜率为－1，

∴所求直线斜率为1，

∴所求直线方程为y＝x+1，即x－y+1＝0.

答案：x－y+1＝0

3．已知直线l₁的方向向量为a＝(1,3)，直线l₂的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l₂经过点(0,5)且l₁⊥l₂，则直线l₂的方程为(　)

A．x+3y－5＝0　 　　　　　　　B．x+3y－15＝0

C．x－3y+5＝0　 　　　　　　　D．x－3y+15＝0

解析：选B.∵l₂经过(0,5)且方向向量b＝(－1，k)，∴l₂的方程为y－5＝－kx，又∵l₁的方向向量a＝(1,3)，l₁⊥l₂，

∴－k·3＝－1⇒k＝，即l₂为y－5＝－x，

∴x+3y－15＝0.

2．(原创题)过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x+m平行，则|AB|的值为(　)

A．6　　　　　　B.

C．2　 　　　　　　　　　　　D．不确定

解析：选B.由题意得k_AB＝＝1，即b－a＝1，

所以|AB|＝＝.

1．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的(　)

A．充分不必要条件　 　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件　 　　　　　　　D．非充分也非必要条件

解析：选B.主要考虑直线l在x、y轴上的截距都为0时，满足条件p但不能推出q.

12．已知函数f(x)＝ln(x+1)+ax.

(1)当x＝0时，函数f(x)取得极大值，求实数a的值；

(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f′(x)≥2x成立，其中f′(x)为f(x)的导函数，求实数a的取值范围；

(3)求函数f(x)的单调区间．

解：(1)f′(x)＝+a

由f′(0)＝0，得a＝－1，此时f′(x)＝－1.

当x∈(－1,0)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(－1,0)上单调递增；

当x∈(0，+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递减；

∴函数f(x)在x＝0处取得极大值，故a＝－1.

(2)∵f′(x)≥2x，∴+a≥2x，∴a≥2x－.

令g(x)＝2x－(1≤x≤2)，

∴g′(x)＝2+>0，∴g(x)在[1,2]上是增函数，

∴a≥g(1)＝.

(3)f′(x)＝+a.

∵>0，

∴当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，+∞)上是增函数．

当a<0时，令f′(x)＝0，x＝－－1；

若x∈(－1，－－1)时，f′(x)>0，

若x∈(－－1，+∞)时，f′(x)<0；

综上，当a≥0时，函数f(x)递增区间是(－1，+∞)；

当a<0时，函数f(x)递增区间是(－1，－－1)，递减区间是(－－1，+∞)．

11．已知函数f(x)＝x³－ax²+b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－mx在区间[－2,2]上为减函数，求实数m的取值范围．

解：(1)f′(x)＝3x²－3ax，

令f′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝a，

∵a>1，

∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．

∴f(0)＝b＝1，

∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(－1)<f(1)，

∴f(－1)＝－a＝－2，a＝.

∴f(x)＝x³－2x²+1.

(2)g(x)＝x³－2x²－mx+1，g′(x)＝3x²－4x－m.

由g(x)在[－2,2]上为减函数，

知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立．

∴，即∴m≥20.

∴实数m的取值范围是m≥20.

10．(2010年合肥质检)设函数f(x)＝lnx－2ax.

(1)若函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线为直线l，且直线l与圆(x+1)²+y²＝1相切，求a的值；

(2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间．

解：(1)依题意有，f′(x)＝－2a.

因此过(1，f(1))点的直线的斜率为1－2a，又f(1)＝－2a，

所以，过(1，f(1))点的直线方程为y+2a＝(1－2a)(x－1)．

即(2a－1)x+y+1＝0

又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为1，

依题意，＝1，

解得a＝.

(2)依题知f(x)＝lnx－2ax的定义域为(0，+∞)，

又知f′(x)＝－2a

因为a>0，x>0，令－2a>0，则1－2ax>0

所以在x∈(0，)时，f(x)＝lnx－2ax是增函数；

在x∈(，+∞)时，f(x)＝lnx－2ax是减函数．

9．将长为52 cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．

解析：设剪成2段中其中一段为x cm，另一段为(52－x) cm，依题意知：

S＝·+·

＝x²+(52－x)²，

S′＝x－(52－x)，

令S′＝0，则x＝27.

另一段为52－27＝25.

此时S_min＝78.

答案：78

8．直线y＝a与函数f(x)＝x³－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．

解析：令f′(x)＝3x²－3＝0，

得x＝±1，

可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，

极小值为f(1)＝－2，

如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点．

答案：(－2,2)