133. 已知：平面α∩平面β=直线a．

α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．

求证：(Ⅰ)a⊥γ；

(Ⅱ)b⊥γ．

证明：

证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　--1分

∵ γ⊥α，

∴ PM⊥α．

而　 aα，

∴ PM⊥a．

同理PN⊥a．　　　　　　 --4分

又　 PMγ，PNγ，

∴ a⊥γ．　　　　　　　 --6分

(Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a₁，交β于直线a₂．　　 --7分

∵ b∥α，∴ b∥a₁．

同理b∥a₂．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --8分

∵ a₁，a₂同过Q且平行于b，

∵ a₁，a₂重合．

又　 a₁α，a₂β，

∴ a₁，a₂都是α、β的交线，即都重合于a．　　　　　　　　　　　　　 --10分

∵ b∥a₁，∴ b∥a．

而a⊥γ，

∴ b⊥γ．　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--12分

注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ．　　　　　　　　　　 --1分

∵ α⊥γ，P∈α，

∴ a′α．

同理a′β．　　　　　　　　　　　 --3分

可见a′是α，β的交线．

因而a′重合于a．　　　　 　　　　　--5分

又　 a′⊥γ，

∴ a⊥γ．　　　　　　　　　　　　　 --6分

(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --7分

∵ b∥α，b∥β．

∴ b∥c，b∥d．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --8分

又　 cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．

于是c∥β．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --9分

∵ c∥β，cα，α∩β=a，

∴ c∥a．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --10分

∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，

∴ b∥a．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --11分

而 a⊥γ，

∴ b⊥γ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --12分

注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC的外心。

解: 作VO^平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,

　　　 ∴ÐVBO为VB与平面ABC所成的角。

　　　 连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。

　　　 ∵VA = VB = VC

　　　 ∴OA = OB = OC

　　　 ∴O为△ABC为外心

　　　 ∵△ABC为直角三角形, 且AC为斜边

　　　 ∴O为AC的中点

　　　 设VA = a, 则VA = VC = AC = a,　　　

　　　 在Rt△VOB中,

　　　 ∴ÐVBO = 60°

　　　 ∴VB与平面ABC所成的角为60°。

2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了。

132. 如图: △ABC的ÐABC= 90°, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。

解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。

131. 如图在二面角α- l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中点

⑴ 求二面角α- l-β的大小

⑵ 求证明：MN⊥AB

⑶ 求异面直线PA与MN所成角的大小

解析：⑴ 用垂线法作二面角的平面角

⑵ 只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可

⑶ 过点A作MN的平行线，转化为平面角求解

解：

⑴ 连PD

　　 ∵PA⊥α，AD⊥l

　　 ∴PD⊥l

　　 ∴∠PDA为二面角α- l-β的平面角

　　 在RTΔPAD中

　　 ∵PA=PD

　　 ∴∠PDA=45°

　　 ∴二面角α- l-β为45°

⑵ 设E是DC的中点，连ME、NE

∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点

∴ME∥AD，NE∥PD

∴ME⊥l，NE⊥l

∴l⊥平面MEN

∵AB∥l

∴AB⊥平面MEN

∵MNÌ平面MNE

∴MN^AB

⑶ 设Q是DP听中点，连NQ、AQ

　 则NQ∥DC，且NQ=1/2DC

　 ∵AM∥DC，且AM=1/2AB=1/2DC

　 ∴QN∥AM，QN=AM

　 ∴QNMQ为平行四边形

　 ∴AQ∥MN

　 ∴∠PAQ为PA与MN所成的角

　 ∵ΔPAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线

　 ∴∠PAQ=45°

　 即PA与MN所成角的大小为45°

300.　 已知四面体A-BCD，AO₁⊥平面BCD，且O₁为ΔBCD的垂心.BO₂⊥平面ACD，求证：O₂是ΔACD的垂心.

证明　 如图所示，连结BO₁，AO₂，

∵AO₁⊥平面BCD，O₁为ΔBCD的垂心，

∴BO₁⊥CD，由三垂线定理得AB⊥CD.

又BO₂⊥平面ACD，由三垂线逆定理得AO₂⊥CD.

同理连结DO₁，CO₂可证BC⊥AD，即CO₂⊥AD.

∴O₂是ΔACD垂心.

299. 已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F

(1)求证：AF⊥SC

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD

解析： 如图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面ABC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证

证明 　(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC

∵矩形ABCD，∴AB⊥BC

∴BC⊥平面SAB

∴BC⊥AE又SB⊥AE　 ∴AE⊥平面SBC

∴SC⊥平面AEF

∴AF⊥SC

(2)∵SA⊥平面AC　 ∴SA⊥DC，又AD⊥DC

∴DC⊥平面SAD　 ∴DC⊥AG

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF

∴SC⊥AG　 ∴AG⊥平面SDC　 ∴AG⊥SD

298. 如图9-38，已知平面a ∥平面b ，A、C∈a ，B、D∈b ，E、F分别为AB、CD的中点．求证：EF∥a ，EF∥b ．

解析：当AB、CD共面时，平面ABCD∩a =AC，平面ABCD∩b =BD．∵　a ∥b ，∴　AC∥BD．∵　E、F分别为AB、CD的中点，∴　EF∥AC．∵　AC a ，EF a ，∴　EF∥a ，同理EF∥b ．当AB、CD异面时，∵　，∴　可在平面ECD内过点E作，与a ，b 分别交于，．平面，平面，∵　a ∥b ，∴　．∵　E是AB中点，∴　E也是的中点．平面，平面，∵　a ∥b ，∴　，∵　E、F分别为、CD中点，∴　，．∵　a ，EF a ，∴　EF∥a ，同理EF∥b ．

297. 如图9-37，两条异面直线AB、CD与三个平行平面a 、b 、g 分别相交于A、E、B，及C、F、D，又AD、BC与平面b 的交点为H、G．求证：EHFG为平行四边形．

解析：

296. 如图9-35，平面a ∥平面b ，△ABC、△的分别在a 、b 内，线段、、相交于点O，O在a 、b 之间．若AB=2，AC=1，∠ABC=60°，OA∶=3∶2，则△的面积为________．

解析：图9-35

∵　，∴　、确定平面，平面∩a =AB，平面，∵　a ∥b ，∴　，同理，．由于方向相反，∴　△ABC与△的三内角相等，∴　△ABC∽△．且．　∵，∴