123. 河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少(精确到0.1米)？

解析：　　　　　　　 已知　　　　　　　　　　　　　　 所求

河堤斜面与水平面所成角为60°　　　　　　 E到地面的距离

利用E或G构造棱上一点F　　　　　　　 　以EG为边构造三角形

解：取CD上一点E，设CE＝10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．

在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．

由此得：

EG＝EFsin60°

＝CE sin30°sin60°

＝10××≈4.3(m)

答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米．

122. 在四面体ABCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，求AC的长．

解析：作出二面角A－BD－C的平面角

在棱BD上选取恰当的点

AB＝AD，BC＝DC

解：取BD中点E，连结AE，EC

∵ AB＝AD，BC＝DC　

∴ AE⊥BD，EC⊥BD

∴ ∠AEC为二面角A－BD－C的平面角

∴ ∠AEC＝60°

∵ AD＝2，DC＝4

∴ AE＝，EC＝

∴ 据余弦定理得：AC＝．

121. 　已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．

解：因为　 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．

所以　 AB∥平面CPD．

又　 P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此　 平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以　 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为　 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以　 AB∥l．

过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为　 l∥AB∥CD，

因此　 PE⊥l，PF⊥l，

所以　 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为　 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，

因为　 E，F分别是AB，CD的中点，

所以　 EF=BC=a．

在△EFP中，

140. 三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BAC=90⁰，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30⁰角，求二面角B-B₁C-A的正弦值。

解析：可以知道，平面ABC与平面BCC₁B₁垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。

解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC₁B₁，过A作AN平面BCC₁B₁，垂足为N，则AN平面BCC₁B₁，(AN即为我们要找的垂线)在平面BCB₁内过N作NQ棱B₁C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。

∵AB₁在平面ABC内的射影为AB，CAAB，∴CAB₁A，AB=BB₁=1，得AB₁=。∵直线B₁C与平面ABC成30⁰角，∴B₁CB=30⁰，B₁C=2，Rt△B₁AC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。

sinAQN==。即二面角B-B₁C-A的正弦值为。

139. 在三棱锥P-ABC中， 　 APB=BPC=CPA=60⁰，求二面角A-PB-C的余弦值。

解析：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，则由定义可知MQN即为二面角的平面角。

设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；

又由PQNPQM得PN=a,故在正PMN中MN=a,在MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值为。

138. 相交成90°的两条直线和一个平面所成的角分别是30°和45°，则这两条直线在该平面内的射影所成的锐角是(　　 )

(A)	(B)
(C)	(D)

解析：分析：设直角顶点到平面的距离是1，所求的角为θ，则．

137. 如图，M、N、P分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的三个侧面ABCD、CC₁D₁D、BCC₁B₁的中心，则A₁M与NP所成的角是(　　 )

解析：D如图所示　

136. 如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面

成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值

是　　　　　　　 ．

解析：

135. 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC

解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明： 取BC中点D　 连结AD、PD

　　　　 ∵PA=PB；∠APB=60°

　　　　 　∴ΔPAB为正三角形　　　　　　

　　　　 同理ΔPAC为正三角形

　　　　 设PA=a

　　　　 在RTΔBPC中，PB=PC=a

　　　　 BC=a

　　　　 ∴PD=a

　 在ΔABC中

　 AD=

　　 =a

∵AD²+PD²=

　　　　 =a²=AP²

∴ΔAPD为直角三角形

即AD⊥DP

又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC

134. 设S为平面外的一点，SA=SB=SC，，若，求证：平面ASC平面ABC。

解析：(1)把角的关系转化为边的关系

(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)

证明：设D为AB的中点

同理

且

即为且S在平面上的射影O为的外心

　则O在斜边AC的中点。

平面ABC

平面SAC

平面ASC平面ABC