113. 如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC，　 且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解： ∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG

∴A'E⊥BC

设A'E=a，则ED=2a

由余弦定理得：

　　 A'D²=A'E²+ED²-2•A'E•EDcos60°

　　　 =3a²

∴ED²=A'D²+A'E²

∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面A'BC

112. 在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点．

AC，BD交于O点．

(Ⅰ)求二面角Q－BD－C的大小：

(Ⅱ)求二面角B－QD－C的大小．

解析：(Ⅰ)解：连QO，则QO∥PA且QO＝PA＝AB

∵ PA⊥面ABCD

∴ QO⊥面ABCD

面QBD过QO，

∴ 面QBD⊥面ABCD

故二面角Q－BD－C等于90°．

(Ⅱ)解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH．

∵ 面QBD⊥面BCD，

又∵ CO⊥BD

CO⊥面QBD

CH在面QBD内的射影是OH

∵ OH⊥QD

∴ CH⊥QD

于是∠OHC是二面角的平面角．

设正方形ABCD边长2，

则OQ＝1，OD＝，QD＝．

∵ OH·QD＝OQ·OD

∴ OH＝．

又OC＝

在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝

∴ ∠OHC＝60°

故二面角B－QD－C等于60°．

111. 两个相交平面a、b 都垂直于第三个平面g ，那么它们的交线a一定和第三个平面垂直．

证明：在g 内取一点P，过P作PA垂直a 与g 的交线；过P作PB垂直b 与g 的交线．

∵ a⊥g 　且b⊥g

∴ PA⊥a且PB⊥b

∴ PA⊥a且PB⊥a

∴ a⊥g

130. 已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120°，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。

解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，

　　　　　　　　　　 则OC是PC在平面ABC内的射影，

　　　　　　　　　　 ∴PCO是PC与面ABC所成的角。

　　　　　　　　　　 ∵ PA = PB = PC，

　　　　　　　　　　 ∴点P在底面的射影是DABC的外心，

　　　　　　　　　　 注意到DABC为钝角三角形，

　　　　　　　　　　 ∴点O在DABC的外部，

　　　　　　　　　　 ∵AC = BC，O是DABC的外心，

　　　　　　　　　　 ∴OC⊥AB　　　　　　

　　　　　　　　　　 在DOBC中，OC = OB， OCB = 60°，

　　　　　　　　　　 ∴DOBC为等边三角形，∴OC = 2 　　　　

　　　　　　　　　　 在RtDPOC中，

　　　　　　　　　　 ∴PCO = 60° 。　　　　　　　　　　　　　　　　

129. 如图平面SAC⊥平面ACB，ΔSAC是边长为4的等边三角形，ΔACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。

解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直，作SD⊥平面ACB，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角

解：过S点作SD⊥AC于D，过D作DM⊥AB于M，连SM

∵平面SAC⊥平面ACB

∴SD⊥平面ACB

∴SM⊥AB

又∵DM⊥AB

∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角

在ΔSAC中SD=4×

在ΔACB中过C作CH⊥AB于H

∵AC=4，BC=

∴AB=

∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC

∴CH=

∵DM∥CH且AD=DC

∴DM=1/2CH=

∵SD⊥平面ACB　　 DMÌ平面ACB

∴SD⊥DM

在RTΔSDM中

SM=

　 =

　 =

∴cos∠DMS=

　　　 =

　　　 =

128. 正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ΔABD折起，使二面角Aˊ-BD-C 为60°，求二面角B-AˊC-D的余弦值

解析：要求二面角B-AˊC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中AˊB=BC，AˊD=DC的关系，采用定义法作出平面角∠BED(E为AC的中点)然后利用余弦定理求解

解：连BD、AC交于O点

则AˊO⊥BD，CO⊥BD

∴∠AˊOC为二面角Aˊ-BD-C的平面角

∴∠AˊOC=60°

设正方形ABCD的边长为a

∵A′O=OC=1/2AC=

∠A′OC=60°

∴ΔA′OC为正三角形则A′C=

取A′C的中点，连DE、BE

∵A′B=BC

∴BE⊥A′C

同理DE⊥A′C

∴∠DEB为二面角B-A′C-D的平面角在ΔBA′C中

BE=

同理DE=

在ΔBED中，BD=

∴ cos∠BED=

　　　　　 =

　　　　　 =--

∴二面角B-A′C-D的余弦值为-

127. 已知空间四边形ABCD中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F分别为AB、CD的中点，

　　　 (1)求证：EF 为AB和CD的公垂线

　　　 (2)求异面直线AB和CD的距离

解析：构造等腰三角形证明EF 与AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF

解；①连接BD和AC，AF和BF，DE和CE

　　　 设四边形的边长为a

　　　 ∵ AD = CD = AC = a

　　　 ∴ △ABC为正三角形

　　　 ∵ DF = FC

　　　 ∴ AF ^ DC 且AF =

　　　 同理 BF = A

　　　 即△ AFB为等腰三角形

　　　 在△ AFB中，

　　　 ∵ AE = BE

　　　 ∴ FE ^ AB

　　　 同理在 △ DEC中

　　　 EF ^ DC

　　　 ∴ EF为异面直线AB和CD的公垂线

　　　 ②在 △ AFB中　　

　　　　　　　 ∵ EF ^ AB且

　　　　　　　 ∴ 　　　　　　　　　　　

　　　　　　　 ∵

　　　　　　　 ∴ EF为异面直线AB和CD的距离

　　　　　　　 ∴ AB和CD的距离为

126．在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离．

解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA⊥M，M是垂足，PB⊥N，N是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面α，设α∩M=AC，α∩N=BC，c∈a．由于PA⊥M，则PA⊥a，同理PB⊥a，因此a⊥平面α，得a⊥PC．这样，∠ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在△PAB中求出AB，再在△ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R＝，即为P点到直线a的距离，为．

125. 如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、CC₁的中点，则异面直线A₁C与EF所成角的余弦值是　 (　　 )

(A) 　　　　　　　 (B) 　　　　　　　 (C) 　　　　　　　　　 (D)

解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在EF上选一点作AC的平行线要简单易行，观察图形，看出F与A₁C确定的平面A₁CC₁恰是正方体的对角面，在这个面内，只要找出A₁C₁的中点O，连结OF，这条平行线就作出了，这样，∠EFO即为异面直线A₁C与EF所成的角．容易算出这个角的余弦值是，答案选B．

124. 二面角α-a-β是120°的二面角，P是该角内的一点．P到α、β的距离分别为a，b．求：P到棱a的距离．

解析：设PA⊥α于A，PB⊥β于B．过PA与PB作平面r与α交于AO，与β交于OB，

∵ PA⊥α，PB⊥β，∴ a⊥PA，且a⊥PB

∴ a⊥面r，∴ a⊥PO，PO的长为P到棱a的距离．

且∠AOB是二面角之平面角，∠AOB =120°

∴ ∠APB = 60°，PA = a，PB = b．

∵ ，

∴ ．