题目列表(包括答案和解析)
71. 球面上有三个点A、B、C. A和B,A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R,那么球心到截面ABC的距离等于 解析:本题考查球面距离的概念及空间想像能力.
如图所示,圆O是球的大圆,且大圆所在平面与面ABC垂直,其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径,弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离,OE是球的半径,因此,欲求OD,需先求出截面圆ABC的半径.
下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B间球面距离是大圆周长的,所以∠AOB=×2π=,同理∠AOC=,∠BOC=.
∴|AB|=R, |AC|=R, |BC|=. 在△ABC中,由于AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径. ∴|ED|= 从而|OD|=. 故应选B. 72. 如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,该图中,互相垂直的面有 A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 答案(D) 解析:要找到一个好的工作方法,使得计数时不至于产生遗漏 73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心,那么AB和DM所成的角等于______
解析:90°连CM交AB于N,连DN,易知N是AB中点,AB⊥CN,AB⊥DN.
70. 将边长为1的正方形ABCD,沿对角线AC折起,使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为
解析:设AC、BD交于O点,则BO⊥AC 且DO⊥AC,在折起后,这个垂直关系不变,因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角. 由于△DOB中三边长已知,所以可求出∠BOD:
这是问题的一方面,另一方面为了求体积,应求出高,这个高实际上是△DOB中,OB边上的高DE,理由是: ∵DE⊥OB ∴DE⊥面ABC.
由cos∠DOB=,知sin∠DOE= ∴DE= ∴ 应选(B)
69. 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E、F分别是AD、DD1的中点,则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于 解析:为了作出二面角E-BC1-C的平面角,需在一个面内取一点,过该点向另一个面引垂线(这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤)。
从图形特点看,应当过E(或F)作面BCC1的垂线. 解析:过E作EH⊥BC,垂足为H. 过H作HG⊥BC1,垂足为G.连EG. ∵面ABCD⊥面BCC1,而EH⊥BC ∵EH⊥面BEC1, EG是面BCC1的斜线,HG是斜线EG在面BCC1内的射影. ∵HG⊥BC1,
∴EG⊥BC1, ∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在Rt△BCC1中:sin∠C1BC== 在Rt△BHG中:sin∠C1BC= ∴HG=(设底面边长为1).
而EH=1, 在Rt△EHG中:tg∠EGH= ∴∠EGH=arctg 故二面角E-BC1-C 等于arctg.
68. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线,α与β交于l,m和n与l既不垂直,也不平行,那么m和n的位置关系是 A.可能垂直,但不可能平行 B.可能平行,但不可能垂直 C.可能垂直,也可能平行 D.既不可能垂直,也不可能平行
解析:这种结构的题目,常常这样处理,先假设某位置关系成立,在此基础上进行推理,若无矛盾,且推理过程可逆,就肯定这个假设;若有矛盾,就否定这个假设。 设m//n,由于m在β外,n在β内, ∴m//β 而α过m与β交于l ∴m//l,这与已知矛盾, ∴m不平行n. 设m⊥n,在β内作直线α⊥l, ∵α⊥β, ∴a⊥α, ∴m⊥a. 又由于n和a共面且相交(若a//n 则n⊥l,与已知矛盾) ∴m⊥β, ∴m⊥l与已知矛盾, ∴m和n不能垂直. 综上所述,应选(D).
67. 直线a是平面α的斜线,b在平α内,已知a与b成60°的角,且b与a在平α内的射影成45°角时,a与α所成的角是( )
A.45° B.60°
C.90° D.135°
解A
66. 空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=√3,则AD,BC所成的角为( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解B注:考察异面直线所成角的概念,范围及求法,需注意的是,异面直线所成的角不能是钝角,而利用平行关系构造可求解的三角形,可能是钝角三角形,望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。
65..如图,空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动,则P、Q的最短距离为( )
解析:B
当M,N分别为中点时。
因为AB, CD为异面直线,所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理,连接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN=所以在RT△BMN中,MN=求异面直线的距离通常利用定义来求,它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直;再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步,而忽略第一步。
64.异面直线a、b,a⊥b,c与a成30°角,则c与b成角的范围是
( )
A. B.
C. D.
解A 直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是60°
63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
解析:B
∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°
62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是
( )
A.48对 B.24对
C.12对 D.6对
解析:B
棱AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.
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