266. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。

解析：易知故两条体对角线相交，设交点为O(如图)，则即为所成的角。

　设正方体棱长为1，则

　，所以，而，故

　，即，

265.试证：两两相交且不全过同一点的四条直线共面.

解析：(1)设a、b、c、d四条直线两两相交，且不过同一点，并且无三线共点.

记　 a∩b＝A,a∩c＝C,c∩b＝B,

∵　 a∩b＝A,∴　 a、b确定平面α.

∴　 B∈b,C∈a.　 ∴　 B、C∈α.

∴　 BCα，即cα，同理dα

从而　 a、b、c、d共面

(2)若有三线共点，不妨设b、c、d相交于A，

a∩b＝B，a∩c＝C,a∩d＝D.

∴　 a与A可确定平面α.

∵　 B∈a.　 ∴B∈α，于是bα.

同理，cα，dα.

从而a、b、c、d共面.

264.异面直线l₁、l₂，它们之间的距离为1，所成角是，它们的公垂线是AB，A∈l₁,B∈l₂.E∈l₁,F∈l₂,AE＝BF＝1，求EF的长.

解析：如图，用异面直线l₁、l₂作为长方体的上、下底面的对角线，公垂线AB为高.

①EF的长即是正方形PEE′F的对角线长，为.

②侧面的对角线，用勾股定理得＝2，即为所求.

263. 在一块长方形木块的面上有一点P，木匠师傅要用锯子从P和CD将木块分成两块，问怎样画线.

解析：过P作C₁D₁的平行线EF，连DE、CF.

262.如果直线a垂直于直线b，那么直线a与平行于直线b的任意一条直线b′互相垂直

解析：在a上任取一点A，过A作b₁∥b，则a与b₁垂直.

∵b∥b′，b∥b₁　 ∴b₁∥b′

∴直线a与b₁和a与b′所成的角相等.

∴a⊥b′

261. 已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点.

求证：①对角线AC、BD是异面直线，

②EF和HG必交于一点，且交点在AC上.

解析：①提示：用反证法，或者用判定定理.

②提示：先证EH∥FG，EH＜FG，设FE∩GH＝0

又　 0∈GH.GH平面ADC.∴O∈平面ADC.同理O∈平面ABC.

∴O在平面ADC和平面ABC的交线AC上.

279.　 在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝BB′＝1，直线B′C与平面ABC成30°的角.(如图所示)

(1)求点C′到平面AB′C的距离；(2)求二面角B－B′C-A的余弦值.

解析：(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，∴A′C′∥AC，AC平面AB′C，∴A′C′∥平面AB′C，于是C′到平面AB′C的距离等于点A′到平面AB′C的距离，作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′，∴A′M⊥平面AB′C，A′M的长是A′到平面AB′C的距离.

∵AB＝B′B＝1，⊥B′CB＝30°，∴B′C＝2，BC＝，AB′＝，A′M＝＝.即C′到平面AB′C的距离为；

(2)作AN⊥BC于N，则AN⊥平面B′BCC′，作NQ⊥B′C于Q，则AQ⊥B′C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1.∴sin∠AQN＝＝,cos∠AQN＝.

说明 　利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB＝BB′＝1，∴AB′＝，又∠B′CB＝30°，

∴BC＝,B′C＝2,AC＝.作AM⊥B′C于M，BN⊥B′C于N，则AM＝1，BN＝，

CN＝，CM＝1，∴MN＝.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C，∴BN与AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.设为θ.由AB²＝AM²+BN²+MN²-2AM×BN×cosθ得cosθ＝＝.

280　 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A-EB-D的平面角大小.

解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.

∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.

(2)EO∥PC，PC平面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.

作OF⊥BC于F，

∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.

由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a.

(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG　 ∵OE⊥AC，BD⊥AC　 ∴AC⊥平面BDE

∴AG⊥EB(三垂线定理)　 ∴∠AGO是二面角A-EB-D的平面角

∵OE＝PC＝a,OB＝a　　 ∴EB＝a.∴OG＝＝a　 又AO＝a.

∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan.

评析　 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

278.　 如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB，SB＝SC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.

解法一：由于SB＝BC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，

∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD，

又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD.

而SA∩SC＝S，所以BD⊥平面SAC.

∵DE＝平面SAC∩平面BDE，DC＝平面SAC∩平面BDC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.

设SA＝a,则AB＝a,BC＝SB＝a.

又AB⊥BC，所以AC＝a.在RtΔSAC中tg∠ACS＝＝，所以∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°，即所求的二面角等于60°.

解法二：由于SB＝BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E.∴SC⊥平面BDE，SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC；又E∈SC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于D∈AC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD⊥DE.

∵DE平面BDE，DC平面BDC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.

277.　 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A-BD-C、A-BC-D、B-AC-D的大小.

解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.

∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角

又AO＝OC＝1，AC＝，∴∠AOC＝90°.即二面角A-BD-C为直二面角.

(2)∵二面角A-BD-C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.

∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.

∵S_ΔOCB＝,S_ΔABC＝,∴cosθ＝.即二面角A-BC-D的大小是arccos.

(3)取AC的中点E，连BE、DE.∵AB＝BC，AD＝DC，

∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.

在ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝-

∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos.

评析　 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.

276. 在三棱锥S-ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求证：平面ASC⊥平面ABC.

证明　 取AC的中点O，连SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC＝AB＝a,SA＝SC＝a,又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S-AC-B的平面角.又∵SA＝AB＝a,SC＝BC＝a,AC＝AC,∴ΔACS≌ΔACB.

∴SO＝BO＝a.在ΔSOB中，∵SB＝a,∴∠SOB＝90°.

即平面SAC⊥平面ABC.

另证：过S作SO⊥平面ABC，垂足是O.∵SA＝SB＝SC，∴S在平面内的射影是ΔABC的外心，同前面的证明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜边AC上.又∵平面SAC经过SO，∴平面SAC⊥平面ABC

说明　 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.