256.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?

证明：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面α内，这时A、B、C、D四点都在α上，由公理1知A、B、C、Dα，这与已知AB与CD异面矛盾，所以AC、BD一定是异面直线.

255.已知：直线a和直线b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交，求证：b、c是异面直线.

证：因为b,c不相交，b、c的位置关系有b∥c或b、c异面两种可能.

假设b∥c,∵　 c∥a,∴　 a∥b，这与已知a,b是异面直线矛盾.

所以b与c不能平行，又b、c不相交

所以b,c是异面直线.

254.　 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足＝＝＝＝k.

(1)求证：M、N、P、Q共面.

(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)

解析：(1)∵　 ＝＝k

∴　 MQ∥BD，且＝

∴　 ＝＝

∴　 MQ＝BD

又　 ＝＝k

∴　 PN∥BD，且＝

∴　 ＝＝从而NP＝BD

∴　 MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.

(2)∵　 ＝，＝

∴　 ＝＝,＝

∴　 MN∥AC，又NP∥BD.

∴　 MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.

∵　 MNPQ是正方形，∴　 ∠MNP＝90°

∴　 AC与BD所成的角为90°，

又AC＝a，BD＝b，＝＝

∴　 MN＝a

又　 MQ＝b,且MQ＝MN，

b＝a，即k＝.

说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.

253. 　如图所示，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.

解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝a,EA＝EB＝a,EF＝＝a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°.

说明　 异面直线所成角的求法：

利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.

252.　 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AA₁和的中点分别是E、F.

(1)证明EF是AA₁与BD₁的公垂线段；

(2)求异面直线AA₁和BD₁间的距离.

解析：(1)连接ED₁、EB，

则显然ED₁＝EB＝a

又F为BD₁之中点.

∴　 EF⊥BD₁；

连接FA₁，FA.

∵　 F为正方体的中心，

∴　 FA＝FA₁，又E为AA₁之中点，

∴　 EF⊥A₁A.

故EF为AA₁与BD₁的公垂线段.

(2)在RtΔEFD₁中

EF＝＝.

故AA₁到BD₁间的距离是.

评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.

251.　 已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.

解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.

证：用反证法.

假设b,c共面，则b∥c或b,c相交.

(1)若b∥c,∵　 c∥a,　 ∴　 a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾；

(2)若b∩c＝P,∵　 bβ，∴　 P∈β.

又∵　 cα，∴　 P∈α.　 ∴　 P∈α∩β而α∩β＝a.

∴　 P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾.

综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.

说明　 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.

270. 若二面角a -l-b 的一个半平面a 上有一个点A，点A到棱l的距离是它到另一个平面b 的距离的2倍，则这个二面角的大小为(　)．

　A．90°　　　 B．60°　　　C．45°　　　D．30°

解析：D．作AH⊥b 交b 于H，作HB⊥l于B，连结AB，由三垂线定理，HB⊥l，∴　∠ABH为二面角a -l-b 的平面角，由已知在Rt△ABH中，AB=2AH，∴　∠ABH=30°．

269. 如图9-42，立体图形A-BCD中，AC=AD，BC=BD．求作二面角A-CD-B的平面角，并说明理由．

解析：取CD中点E，连结AE、BE，∵　AC=AD，∴　AE⊥CD．∵　BC=BD，∴　BE⊥CD，∴　∠AEB为二面角A-CD-B的平面角．

268. 根据叙述作图，指出二面角a -l-b 的平面角，并证明．

　(1)已知a ∩b =l，A∈l(图9-39)．在a 内作PA⊥l于A，在b 内作QA⊥l于A．

图9-39

　(2)已知a ∩b =l，A∈a ，(图9-40)．作AP⊥b 于P，在a 内作AQ⊥l于Q，连结PQ．

图9-40

　(3)已知a ∩b =l，， (图9-41)．作AP⊥a 于P，AQ⊥b 于Q，l∩平面PAQ=H，连结PH、QH．

解析：(1)PAa ，QAb ，PA⊥l，QA⊥l，∴　∠PAQ为二面角的平面角．

　　(2)∵　AP⊥b ，∴　PQ为AQ在平面b 内的射影，∵　AQ⊥l，根据三垂线定理，有PQ⊥l，∴　∠AQP为二面角的平面角(如图答9-35)．

　　(3)∵　AP⊥a ，∴　AP⊥l，∵　AQ⊥b ，∴　AQ⊥l，∴　l⊥平面PAQ，∵　PH·QH平面PAQ，∴　l⊥PH，l⊥QH，∴　∠PHQ为二面角的平面角(如图答9-36)．

267.长方体中，则所成角的大小为______________。

解析：如图所示，将平移到，则在中