459.　 如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a.

(1)求截面EAC的面积

(2)求异面直线A₁B₁与AC之间的距离

(3)求三棱锥B₁-EAC的体积

解析：(1)连结DB交AC于O，连结EO.

∵底面ABCD是正方形

∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC　 ∴EO⊥AC

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角

∴∠EOD＝45°

DO＝a,AC＝a,EO＝a·sec45°＝a.

故　 S_ΔEAC＝a².

(2)解：由题设ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC.

又A₁A⊥A₁B₁

∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO

∴D₁B∥EO

又O是DB的中点

∴E是D₁D的中点，D₁B＝2EO＝2a.

∴D₁D＝＝a.

异面直线A₁B₁与AC间的距离为a.

连结B₁O，则＝2

∵AO⊥面BDD₁B₁

∴AO是三棱锥A-EOB₁的高，AO＝a.

在正方形BDD₁B₁中，E、O分别是D₁D、DB的中点

则：＝a².

∴＝2··a²·a＝a³

所以三棱锥B₁-EAC的体积是a³.

458.　 如图，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中点.

(1)证明AB₁∥面DBC₁

(2)假设AB₁⊥BC₁，BC＝2，求线段AB₁在侧面BB₁CC₁上的射影长.

分析：弄清楚正三棱柱的概念，利用三垂线定理找二面角.

解析：(1)证明：∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，

∴四形B₁BCC₁是矩形，连结B₁C，交BC₁于E，

则B₁E＝EC，连结DE.

在ΔAB₁C中，AD＝DC，∴DE∥AB₁

又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁

∴AB₁∥平面DBC₁

(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，因为面ABC⊥面B₁BC₁，所以DF⊥B₁BCC₁，连结B₁E，则B₁E是A₁B在平面B₁BCC₁内的射影

∵BC₁⊥AB₁　 ∴BC₁⊥B₁E

∵B₁BCC₁是矩形

∴∠B₁BF＝BC₁C＝90°

∴ΔB₁BF∽ΔBCC₁

∴＝＝

又F为正三角形ABC的BC边中点

因而B₁B²＝BF·BC＝2

于是B₁F²＝B₁B²+BF²＝3，∴B₁F＝

即线段AB₁在平面B₁BCC₁内的射影长为

457.求证：底面是梯形的直棱柱的体积，等于两个平行侧面面积的和与这两个侧面间距离的积的一半.

已知：直四棱柱A₁C，如图，它的底面AC为梯形.DC∥AB，侧面A₁B与侧面D₁C的距离为h.

求证：＝(+)×h

证：设D₁E₁是梯形A₁B₁C₁D₁的高，

∵D₁E₁⊥A₁B₁，D₁E₁面A₁C₁

面A₁C₁⊥面A₁B，面A₁C₁∩面A₁B＝A₁B₁.

∴D₁E₁⊥面A₁B.

∴D₁E₁＝h.

＝S_底·AA₁

＝(D₁C₁+A₁B₁)·D₁E₁·AA₁

＝(D₁C₁·A₁A+A₁B₁·A₁A)·h

＝(+)·h

456.求证：(1)平行六面体的各对角线交于一点，并且在这一点互相平分.

(2)对角线相等的平行六面体是长方体.

已知：平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁

求证：(1)对角线AC₁、BD₁、CA₁、DB₁相交于一点，且在这点互相平分；

(2)若AC₁＝BD₁＝CA₁＝DB₁时，该平行六面体为长方体.

证明：(1)∵AA₁∥BB₁，BB₁∥CC₁，

∴AA₁∥CC₁.

∴对面角A₁ACC₁是平行四边形.

∴CA₁与AC₁相交，且互相平分.

设CA₁∩AC₁＝0，则O为CA₁，AC₁的中点.

同理，可证DB₁与AC₁及AC₁与D₁B也相交于一点，且互相平分.

交点也是O.

∴AC₁、BD₁、DB₁、CA₁交于一点，且互相平分.

(2)∵平行六面体AC₁的对角线面A₁C₁CA、B₁D₁DB都是平行四边形.且它们的对角线A₁C、B₁D、C₁A、D₁B都相等.

∴对角面A₁C₁AC，B₁D₁DB都是矩形.

因此　 CC₁⊥A₁C₁

∴BB₁⊥B₁D₁

又∵BB₁∥CC₁

∴BB₁⊥A₁C₁

∴BB₁⊥平面A₁C₁

∴平行六面体A₁C是直平行六面体

同理可证：CB⊥平面A₁B，则BC⊥AB.

∴平面四边形ABCD是矩形.

∴直平行六面体A₁C是长方体.

455.　 如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧棱AA₁长为2，且∠A₁AB＝∠A₁AD＝60°则此平行六面体的体积为　　　　　　

解析：一　 求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D的体积，应用公式.由于底面是正方形，所以关键是求高，即到底面ABCD的距离

解法一：过点A₁做A₁O⊥平面ABCD，垂足为O，过O做OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分别为E、F，连结A₁E，A₁F，可知O在∠BAD的平分线AC上.

∴cos∠A₁AO·cos∠OAF＝·＝＝cos∠A₁AF

即cos∠A₁AO·cos45°＝cos60°

∴cos∠A₁AO＝

∴sin∠A₁AO＝

∴A₁O＝A₁Asin∠A₁AO＝

∴V＝S_ABCD·A₁O＝

分析二　 如图，平行六面体的对角面B₁D₁DB把平行六面体分割成两个斜三棱柱，它们等底面积、等高、体积相等，考察其中之一三棱柱A₁B₁D₁-ABD.

解法二：过B作BE⊥A₁A，连结DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下两部分，若把两部分重新组合，让面A₁D₁B₁与面ADB重合，则得到一直棱柱，ΔBDE是其底面，DD₁是其侧棱，并且和斜三棱柱A₁B₁D₁-ABD的体积相等.

取BD中点O，连结OE，易知

S_ΔBED＝BD·OE＝BD·

＝··＝

∴V_直棱柱＝S_ΔDEB·DD₁

＝×2＝＝

∴＝2＝

点评　 在解决体积问题时，“割”“补”是常用的手段，另外本题分析二给出了求斜棱柱体积的另一方法：斜棱柱的体积＝直截面面积×侧棱长.

454.　 如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上，G在对角线BD₁上，且AE＝，BF＝，D₁G∶GB＝1∶2，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.

解析：设G在底面ABCD上的射影为H，H∈BD，

∵＝＝

∴GH＝

作HM⊥EF于M，连GM，由三垂线定理知GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面BFG与底面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝.

下面求HM的值.

建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.

H(，)、E(，0)、F(1，)

∴直线EF的方程为

＝，

即　 4x-6y-1＝0.

由点到直线的距离公式可得

｜HM｜＝＝，

∴tgθ＝·＝，θ＝arctg.

说明　 运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.

453. 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁B₁上的一动点，平面PAD₁和平面PBC₁与对角面ABC₁D₁所成的二面角的平面角分别为α、β，试求α+β的最大值和最小值.

解析：如图.对角面A₁B₁CD⊥对角面ABC₁D₁，其交线为EF.过P作PQ⊥EF于Q，则PQ⊥对角面ABC₁D₁.分别连PE、PF.

∵EF⊥AD₁，PE⊥AD₁(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知　 ∠PFQ＝α，

同理，∠PFQ＝β.

设A₁P＝x,(0≤x≤1)，则PB₁＝1-x.

∵EQ＝A₁P，QF＝PB₁，PQ＝，

∴当0＜x＜1时，有

tanα＝,tanβ＝,

∴tan(α+β)＝＝

＝

而当x＝0时α＝，tan(α+β)＝tan(+β)＝-cotβ＝-＝-，上式仍成立；类似地可以验证.当x＝1时，上式也成立，于是，当x＝时，tan(α+β)取最小值-2；当x＝0或1时，tan(α+β)取最大值-.

又∵　 0＜α+β＜π，

∴(α+β)max＝π-arctan

(α+β)min＝π-arctan2

452.　 求棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁C₁与AB₁的距离.

解法一：连结BD₁，取A₁B₁的中点E，连BE交AB₁于M，连D₁E交A₁C₁于N，连MN.

因为ΔA₁NE∽ΔC₁ND₁，所以＝＝，

则＝，同理＝.

∵＝.∴MN∥BD₁.

由三垂线定理知BD₁与A₁C₁、AB₁都垂直，故MN为两对角线的公垂线，

又ΔEMN∽ΔEBD₁

故＝＝.∴MN＝a.

解法二：取A₁M＝，B₁N＝，过N作NP⊥A₁B₁于P，连MP，则ΔMPN为直角三角形，由计算，PM＝a,PN＝a,故MN＝a.又A₁N＝a，A₁M＝a,故A₁N²＝A₁M²+MN²，于是MN⊥A₁C₁；同理，由AN＝a,AM＝a,MN＝a可知MN⊥AB₁.故MN为AB₁与A₁C₁的公垂线段，从而AB₁与A₁C₁的距离为a.

解法三：可转化为求平行平面间的距离.连A₁D，C₁D，A₁C₁，B₁C.易知A₁D∥B₁C，A₁C₁∥AC.故平面A₁DC₁∥平面AB₁C.连BD₁，设与平面A₁DC₁交于M，与平面AB₁C交于N.因BD₁与图中所示6条面对角线都垂直，故BD⊥面A₁DC₁，也垂直于AB₁C.即MN是A₁C₁与AB₁的距离，在RtΔD₁DB中，D₁M＝＝a，而同理可求BN＝a，故

MN＝a-a-a＝a.

说明　 上例还可以利用直线与平面平行、体积转换等方法求解.

451.　 如图1，线段AB平面α，线段CD平面β，且平面α∥平面β，AB⊥CD，AB＝CD＝a,α、β的距离为h，求四面体ABCD的体积.

图1 　　　　　　　　　　　　　　　　图2

解析：依题意可构造一个底面对角线长为a，高为h的正四棱柱(如图2).

显然，正四棱柱的底面边长为a.其体积为

V_柱＝(a)²h＝a²h.

而三棱锥C-AC′B的体积为

V_锥＝V_柱.

故四面体ABCD的体积为

V＝V_柱-4V_锥＝V_柱-V_柱

＝V_柱＝a²h.

说明　 本题运用了“构造辅助体”的解题技巧.

18．解:(I)动点P的轨迹E的方程是y²=4x.　　 (II)设直线的方程为x=k(y-1),代入轨迹E的方程y²=4x,整理得:y²-4ky+4k=0.　 由题意知,(4k)²-4´4k>0且4k>0,解得k>1. 由根与系数的关系可得MN的中点坐标为(k(2k-1),2k),∴线段MN垂直平分线方程为:y-2k=-k[x-k(2k-1)],　 令y=0,得D点的横坐标x₀=2k²-k+2,∵k>1,∴x₀>3,即为所求.