429.　 求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.

解析：如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔBCD于H，则H为ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)².

解得R＝a.

428.　 如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA²+PB²+PC²为定值；(2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值.

解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O₁，AB是⊙O₁的直径，连PO₁并延长交⊙O₁于D，PADB是矩形，PD²＝AB²＝PA²+PB²，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.

解：　 (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O₁，∵PA⊥PB，

∴AB是⊙O₁的直径，连PO₁并延长交⊙O₁于D，则PADB是矩形，PD²＝PA²+PB².

设O为球心，则OO₁⊥平面⊙O₁，

∵PC⊥⊙O₁平面，

∴OO₁∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.

∴CD是球的直径.

故　 PA²+PB²+PC²＝PD²+PC²＝CD²＝4R²定值.

(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P-ABC的体积V＝xyz，

V²＝x²y²z²≤()³＝·＝R⁶.

∴V≤R³.

即　 V_最大＝R³.

评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R²可为(1)的证明指明方向.

球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.

427.　 已知圆锥的母线长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.

解析：设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又设正方体棱长为x，则3x²＝EG²＝4R²,x＝R.∴V_正方体＝(lcosθtan)³.

426. 地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为，求A、B两地经度的差.

解析：如图，O为球心，O₁为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在ΔAO₁B中，∠AO₁B的大小就是A、B两地的经度差.

解：　 设O₁是北纬45°圆的中心，

∵A、B都在此圆上，

∴O₁A＝O₁B＝R.

∵A、B的球面距离为，

∴∠AOB＝＝＝,ΔAOB为等边三角形.

AB＝R，在ΔAO₁B中，

∵O₁A²+O₁B²＝R²+R²＝R²＝AB²，

∴∠AO₁B＝90°.

∴A、B两地的经度差是90°.

评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.

425. 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.

证明： 　设球的半径为R，正四面体的高为h，侧面积为S，则有V_A-BCD＝V_O-ABC+V_O-ABD+V_O-BCD，如图，即Sh＝4×SR,∴h＝4R.

424.　 正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积.

解析：如图，PD是三棱锥的高，则D是ΔABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA²＝PD·PE＝＝，R＝，∴S_球＝π(cm)².

423.　 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm和17cm，两球心间的距离为21cm，求此镜面的表面积和体积.

解析：轴截面如图，设O₂C＝x，则CO₁＝21-x,∵AB⊥O₁O₂　 ∴AO₂²-O₂C²＝AO₁²-CO₁²，即10²-x²＝17²-(21-x)²，解得x＝6,CO₁＝15,又设左边球缺的高为h₁,右边的球缺高为h₂，则h₁＝17-15＝2,h₂＝10-6＝4,∴S_表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)²,V＝π［2²(3·10-2)+4²(3·17-4)］＝288π(cm³).

422. 一个圆在平面上的射影图形是(　　 )

A.圆　　　　　　　　　　　　 B.椭圆

C.线段　　　　　　　　　　　 D.圆或椭圆或线段

解析：D

421.　 地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度差为，求球面上A、B两点间球面距离.

解析：本题关键是求出∠AOB的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图2，以O₁O，O₁A，O₁B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求∠BOA的问题.

解：　 如图2，∵∠O₁OA＝＝∠O₁OB，OA＝OB＝R，∴OO₁＝O₁A＝O₁B＝R　 ∴AB²＝O₁A²+O₁B²＝R，　 ∴ΔAOB为等边Δ，　 ∴∠AOB＝，A、B间的球面距离为R.

440. ABCD是平面a 内的一个四边形，P是平面a 外的一点，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有(　)．

　A．1个　 　　　　　B．2个　 　　　　C．3个　　 　　　　D．4个

解析：D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，则所有的三角形都是直角三角形